Тема 4.  Алгебра событий

План:

1. Сложения вероятностей несовместных событий

2. Умножение вероятностей

3. Условная вероятность

4. Полная  вероятность, формула Бейса.

5. Повторение испытаний

Теоретические сведения

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

1. Сложения вероятностей несовместных событий.

Сумма событий.

Суммой  двух событий А н В называют событие А + В, состоящее в появлении события А, или собы­тия В, или обоих этих событий.

Например, если из ору­дия произведены два выстрела и А - попадание при пер­вом выстреле, В - попадание при втором выстреле, то А+В - попадание при первом выстреле, или при вто­ром, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, кото­рое состоит в появлении хотя бы одного из этих собы­тий.

Например, событие А + В+ С состоит из  появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Вероятность  суммы несовместимых событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несов­местных событий, безразлично какого, равна сумме веро­ятностей этих событий:

Р (A₁ + А₂ + ... + А_п) = р (A₁) + р (А₂,} + ... + р (А_п).  

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема.   Сумма  вероятностей  событий A₁ + А₂ + ... + А_п  образующих полную группу, равна единице: р (A₁) + р (А₂,} + ... + р (А_п)=1  

Задание 4-1. Задачи на нахождение вероятности суммы событий.

1.  В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих в 15 белых. Вытаскивается один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)Р ( А) = 10 : 30=1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)Р (В) =5/30 =1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исклю­чает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения при­менима.

Ответ  Р (А + £) = Р(А) + Р(В) = 1/3+ 1/6= 1/2.

2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 об­ласти. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую- 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. События А - "стрелок попал в первую область" и В - "стрелок попал во вторую область" - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая  вероятность  Р(А) + Р(В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

3. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность полу­чения пакета из города А равна 0,7, из города В - 0,2. Найти веро­ятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. События "пакет получен из города Л", "пакет получен из города Я", "пакет получен из города С" образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,7 + 0,2 + Р=1 Отсюда искомая вероятность р=1- 0,9 = 0,1.

Вероятность противоположных событий

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать А' или .Ā.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна единице: Р(А) + Р(Ā)=1.

Замечания

1. Если вероятность одного из двух противопо­ложных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q.Тогда 1-p=q

2.При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события А, а затем найти искомую вероятность по формуле

Р(А)=1- Р(А)

Задание 4-2.

1. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А - попадание, то Ā - промах. Пусть Р(А)=0,9, найти вероятность промаха. Р(Ā)=+1-0,9=0,1

2. Из ящика наудачу взята деталь. События "появилась стандартная деталь", вероятность которого равна p, тогда "появилась нестандартная деталь" - противо­положные. событие, вероятность которого равна 1-p

3. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События "день дождливый" и "день ясный" - про­тивоположные, поэтому искомая вероятность q=1 - p = 1~ 0,7 = 0,3.

4. В ящике имеется п деталей, из которых m стандарт­ных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных дета­лей  хотя бы одна стандартная.

Решение. События "среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная" и "среди извлеченных деталей нет ни одной стан­дартной" - противоположные. Обозначим первое событие через А , а второе - через Ā.

Найден Р(Ā). Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно  Число нестандартных деталей равно n-т; из этого числа деталей можно способами извлечь k не­стандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна Р(Ā).= :

Ответ: Р (А)= 1-Р(Ā)=1-:

5. Решить задачу предыдущую задачу с конкретными данными.

Принцип практической невозможности маловероятных событий   

При решении многих практических задач прихо­дится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т. е. близка к нулю. Можно ли считать, что маловероятное событие А в единичном испытании не произойдет? Такого заключения сделать нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, что событие А наступит.

Казалось бы, появление или не появление маловероят­ного события в единичном испытании предсказать невоз­можно. Однако длительный опыт показывает, что мало­вероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого факта принимают следующий "принцип практической невозможности маловероятных событий": если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать что в единичном испытании это собы­тие не наступит.

Естественно возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать невозможным его появление в одном испытании? На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Для задач, различных по существу, ответы разные. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется, равна 0,01, то было бы недопустимым применять такие парашюты. Если же вероятность того, что поезд даль­него следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно практически быть уверенным, что поезд прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой (в дан­ной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заклю­ченные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.

Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позво­ляет делать предсказания не только о событиях, имею­щих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице. Действительно, если событие А имеет вероятность, близкую к нулю, то вероятность противоположного события А близка к единице. С другой стороны, не появление события А означает наступление противоположного события А. Таким образом, из прин­ципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее важное для приложений следствие: если слу­чайное событие имеет вероятность, очень близкую к еди­нице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Разумеется, и здесь ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близ­кой к единице, зависит от существа задачи.

Задание 4-3.  Решить задачи с применением теорем о сумме не совместимых событий.

1. В денежно-вещевой  лотерее  на  каждые   10000 билетов разыгрывается  150 вещевых и 50 денежных выигрышей.  Чему равна вероятность   выигрыша,   безразлично денежного   или   вещевого, для владельца одного лотерейного  билета? Ответ: р = 0,02.

2.  Вероятность   того,   что   стрелок   при   одном   выстреле   выбьет 10 очков,  равна 0,1; вероятность выбить 9 очков  равна 6,3;   вероят­ность   выбить   8   или   меньше   очков   равна   0,6.   Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Ответ: р - 0,4.

3.  В партии   из   10   деталей   8   стандартных.   Найти вероятность того, что среди   наудачу   извлеченных   2 деталей есть хотя  бы   одна стандартная. Ответ: р = 44/45.

4.  В ящике 10 деталей, среди   которых 2 нестандартных.   Найти вероятность того, что в наудачу  отобранных 6  деталях окажется не более одной нестандартной детали. Ответ: р = 2/3.

Указание. Если А - нет ни одной нестандартной детали, В - есть одна нестандартная деталь, то P(A+B)=P(A)+P(B)=

5. События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(4)=0,1; Р(В)=0,4; Р(С) = 0,3. Чему равна вероятность события D? Ответ: P(D)=Q,2.

6. По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10-для смены резца; 3-из-за неисправности привода; 2-из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам. Ответ: р = 0,25.

2. Умножения вероятностей

Произведение   событий  

Произведением   двух  событий   А   и   В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совме­щении) этих событий.

Например. Событие А-деталь годная, Событие В-деталь окрашенная, то Событие АВ - деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например. События А, В, С-появление "герба" соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то событие АВС - выпадение "герба" во всех трех испытаниях.

3. Условная вероятность.

Выше было сказано, что случайное событие это событие, которое при осуществлении совокупности усло­вий  может произойти или не произойти.

Безусловная вероят­ность  это вероятность события, но которое никаких ограни­чений не налагается (кроме тех, которые есть в определении случайного события).

Условная вероятность – это вероятность события, на которое налагаются дополнительные условия.

При решении многих задач приходится вычислять вероятность событие, которое может произойти только в том случае. когда произошло перед ним некоторое  иное событие.. Например, вычисляют вероятность собы­тия В при дополнительном условии, что произошло со­бытие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило,

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна Ра (В) =Р (АВ)/Р (А), очевидно, что    (Р (А) > 0).                   

Задание 4-4.

1.  В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероят­ность появления белого шара при втором испытании -{событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, до них 3 белых. Условная искомая вероятность Ра (В) = 3/5.

 Этот же результат можно получить по формуле

Ра (В) =Р (АВ)/Р (А)       (Р (А) > 0).                   

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытавши

Р (А) = 3/6 = 1/2.

Найдем вероятность Р(АВ) того, что в первом испытании по­явится черный шар, а во втором - белый. Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений  из 6 по 2  6-5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3·3=9 исходов. Следовательно, Р(АВ) =9/30 = 3/10. Поэтому условная вероятность Ра (В) =Р(АВ)1Р (А) = (3/10) : (1/2) =3/5. - получен прежний результат.

2. В В ящике 10 деталей. Из них 3-бракованные. Вытаскиваются 3 детали по одной. Найти вероятность события А="Дети появись в последовательности: бракованная, бракованная, не бракованная".

3. Придумать задачу про спортсменов (погоду, экзаменационные билеты) решение которой связано с условной вероятностью.