Вероятность гипотез.  Формула  Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B_lt В_а, . . . , В_п, образующих полную группу. Поскольку заранее не из­вестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А опреде­ляется по формуле полной вероятности

Р (А) = Р (В₁) P_В1 (A)+ P (В₂) Р_B2 (A) + . . + P (В_n) Р_Bn (A)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что собы­тие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Найдем   сначала   условную  вероятность   Р_А (В₁).  

По теореме умножения имеем Р (AB₁) = Р (A) Р_А (В₁) = Р (В₁) P_B1 (A). Из двойного равенства получим Р (A) Р_А (В₁) = Р (В₂) P_B1 (A).

Итак, Р_А (В₁) = (Р (В₁)· P_B1 (A)) : Р (A)

или Р_А (В₁) = (Р (В₁)· P_B1 (A)) : (В₁) P_В1 (A)+ P (В₂) Р_B2 (A) + . . + P (В_n) Р_Bn (A))

Аналогично определяющие услов­ные вероятности остальных гипотез,

Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как ста­новится известным результат испытания, в итоге кото­рого появилось событие А.

Задания 4-9

1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Веро­ятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет приз­нана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предполо­жения:

1)  деталь проверил первый контролер (гипотеза B₁)',

2)  деталь проверил второй контролер (гипотеза В₂).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контро­лер, найдем по формуле Бейеса:

Р_А (В₁) = (Р (В₁)· P_B1 (A)) : (В₁) P_В1 (A)+ P (В₂) Р_B2 (A) + . . + P (В_n) Р_Bn (A))

***

По условию задачи имеем:

P(B₁)= 0,6   -вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру;

P (В₂) =0,4   -вероятность того,  что деталь попадет ко второму контролеру;

P_В1 (A)=0,94 -вероятность   того, что   годная   деталь  будет признана первым контролером стандартной);

Р_B2 (A) = 0,98 - вероятность   того, что   годная   деталь будет признана вторым контролером стандартной),

Искомая вероятность

P_B1 (A)) = (0,6 • 0,94)/(0,б • 0,94 + 0,4-0,98) =0,59.

Задания 4-10.

1. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероят­ность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым -0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Ответ. 0,88.

2.  У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1, н 4 детали завода №2.  Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется наготовленной заводом № 1. Ответ. 92/95.

3. В группе спортсменов 20 лыжников, б велосипедистов и 4 бе­гуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0,9, для   велосипедиста - 03 и для бегума - 0,75. Найти вероятность   того,   что   спортсмен,   выбранный   наудачу,   выполнит норму. Ответ. 0,86.

4.  Сборщик  получил   3   коробки  деталей,   изготовленных  заво­дом № 1, н 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероят­ность  того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2-0,9,   Сборщик   наудачу   извлек  деталь  из наудачу взятой ко­робки.   Найти   вероятность   того,   что извлечена стандартная деталь. Ответ. 0,84.

5.  В первом  ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандарт­ных;   во  втором-30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10  деталей,   из   них 6 стандартных.   Найти  вероятность того,  что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная. Ответ. 43/60.

6. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответст­венно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы. Ответ. 0,875.

7.  В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содер­жится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1  нестандартная. Иэ  первого  ящика наудачу взята лампа и перело­жена   во   второй.   Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной. Ответ. 13/132.

8.  Из полного набора' 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти   вероятность   того,  что  вторую  извлеченную наудачу кость можно приставить к первой. Ответ. 7/18.

9. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком слу­чае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наимень­шей: когда он берет билет первым или последним? Ответ. Вероятности одинаковы в обоих случаях.

10.   В  ящик, содержащий  3 одинаковых детали, брошена стан­дартная   деталь,    а   затем   наудачу   извлечена   одна   деталь.   Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равноверо­ятны   все  возможные  предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике. Ответ. 0,625.

11.  При   отклонении   от  нормального  режима   работы   автомата срабатывает  сигнализатор  С-1   с   вероятностью  0,8, а   сигнализатор С-И срабатывает  с   вероятностью 1. Вероятности  того, что   автомат снабжен   сигнализатором  СИ   или  С-11,  соответственно  равны 0,6 н 0,4. Получен  сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-Ш.  Ответ. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-1, равна 6/11. а С-11-5/11.

12.  Для участия в спортивных студенческих отборочных соревно­ваниях выделено из первой группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы - 5  студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и   третьей   группы   попадает   в   сборную   института,   соответственно равны  0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу   выбранный студент в итоге соревно­вания  попал в сборную. К   какой из групп вероятнее всего принад­лежал этот студент?   Ответ. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, тре­тьей   групп,   соответственно  равны:   18/59, 21/59, 20/59.

5. Повторение испытаний.

Формула Бернулли

Рассмотрим практические ситуации.

1. Садовник покупает саженцы в магазине, где продавец сообщил ему, что вероятность проживания деревьев равна 90%. Сколько нужно купит садовнику саженцев, чтобы быть уверенным, что приживутся  у него не менее 10 саженцев; ровно 10 саженцев;

2. Спортсмен бросает мяч по кольцу. Вероятность попадания  в кольцо у него составляет 60%. Какова вероятность того, что при 15 бросках он попадет в кольцо равно 10 раз.

Сформулируем общую таковую ситуацию. Вероятность наступления одного события равна p.  Необходимо вычислить вероятность наступления k таких событий при n испытаниях

Материал данного раздела позволит ответить на такие задания и решить много других ситуаций иного направления, связанных с повторными испытаниями.

Испытания называют независимыми относительно события А, еЕсли производится несколько испытаний, при­чем вероятность события А в каждом испытании не за­висит от исходов других испытаний.

В независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Ниже воспользуемся понятием сложного события, по­нимая под ним совмещение нескольких отдельных собы­тий, которые называют простыми.

Пусть производится п независимых испытаний, в каж­дом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность собы­тия А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность не наступления со­бытия А в каждом испытании также постоянна и равна q=1 - p.

Рассмотрим задачу: Вычислить вероятность того, что при п испытаниях событие А осуществится ровно k раз. и, следовательно, не осуществится п- k раз

Очевидно, что событие А повторилось ровно k раз в произвольной  последовательности. Это значит, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: АААĀ, ААĀА, АĀАА, ĀААА, где .символ А обозначает, что событие наступила, а символ Ā – не наступило.

Искомую вероятность обозначают Р_п (k) или P_n,k, которая соответствует  вероятности наступления события ровно k при n  испытаниях. Такие задачи решаются по  формуле Бернулли:

, где n - число исходов, k – число положительных исходов,

p - вероятность наступления события, q -  вероятность не наступления события (q =1-p) 

Задание 4-11

1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продол­жение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электро­энергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,75. Сле­довательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=1- 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:  P₆(4)=C₆⁴·0,75⁴·0,25²=0,30.

2.  Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение. п = 5, р = 0,8 и k = 2; по фор­муле Бернулли: Р₅(2) =0,0512.

 3. [3, №231].   Какова вероятность того,  что при 8 бросаниях   монеты герб выпадет 5 раз?

4. [3,№232].   По данным технического контроля 2%   изготовленных ав­томатических станков нуждаются в дополнительной   регулировке. Найдите вероятность того, что из 6 изготовленных  станков 4 нуж­даются в дополнительной регулировке.

5. [3, №240].  Вероятность   того,   что   покупателю   потребуется   обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 пер­вых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере, одному.

  Локальная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позво­ляющая вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. При выводе мы предпола­гали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях л достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами лога­рифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погреш­ности; в итоге окончательный результат может значи­тельно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испы­таний достаточно велико.

Теорема. Лапласа.  Если вероятность р появ­ления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п (k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

,  причем, 

Для удобства вычислений составлены таблицы значений функции  = , соответствующие положительным значениям аргумента x.  Функция  четная.

 Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

,