Задание 4-12

1 .Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, n = 400; k = 80; р=0,2; q= 0,8. Вос­пользуемся асимптотической формулой Лапласа: P₄₀₀(80) = 0,04986.

.

2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию, п = 10; k = 8; р = 0,75; q = 0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:  P₁₀ (8)= 0,273.

 Интегральная теорема Лапласа

Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях

Число k₀ называют наивероятнейшим числом, если вероятность  того, что событие наступило в этих испытаниях k₀  раз, превышает  или по крайней мере не меньше вероятности остальных возможных исходов.

Наивероятнейшее  число вычисляется по формуле  (двойного  неравенства)

np – q < k₀ < np + p

Если  число np – q  дробное, то существует одно наивероятнейшее  число

Если  число np – q  целое, то существует два  наивероятнейших  чисел

Задания 4-15.

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Тема 5. Случайные дискретные величины  (ДСВ)

План:

1.  Понятие  случайной  величины и их  виды

2.  Закон  распределения  ДСВ.

3.  Биномиальное распределение,

4. Геометрическое распределение

5. Числовые характеристики и свойства ДСВ

6. Функция   распределения  ДСВ

Теоретические сведения

1. Понятие  случайных   величин и их  виды

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние. Это значение не известное и оно зависящее от некоторых случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Примеры случайных величин:

 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожден­ных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: О, 1, 2, .... 100.

2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принад­лежат некоторому промежутку (а, Ь).

3.  Урожайность любой культуры есть случайная величина, которую трудно прогнозировать, но эта величина находится в некотором интервале в зависимости от региона и культуры, а также иных причин.

4. Оценка на экзамене по теории вероятностей, в принципе случайная величина, принимающая значения 1,2,3,4.5.

5. Число принявшихся саженцев из купленных  10 штук.

3.  Биномиальное распределение,

Производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появиться либо не появиться. Положим, что вероятность наступления события во всех  испытаниях постоянна и равна p.  Зададим  в этих испытаниях. случайную дискретную. величину X - число появлений со­бытия  A и для нее установим закон распреде­ления  

Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, .... либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x_i = 0,1,2,… n. Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли.

,  где n - число исходов, k =0,1,2,…n,  p - вероятность наступления события, q -  вероятность не наступления события (q =1-p)

Указанная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Полученное распределение называется  биномиальным распределением вероятностей ввиду того, что эту формулу можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Задание 5-2. Найти  закон распределения случайной величины по формуле Бернулли.

1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X - числа выпадений "герба".

3.  Биномиальное распределение,

Производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появиться либо не появиться. Положим, что вероятность наступления события во всех  испытаниях постоянна и равна p.  Зададим  в этих испытаниях. случайную дискретную. величину X - число появлений со­бытия  A и для нее установим закон распреде­ления  

Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, .... либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x_i = 0,1,2,… n. Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли.

,  где n - число исходов, k =0,1,2,…n,  p - вероятность наступления события, q -  вероятность не наступления события (q =1-p)

Указанная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Полученное распределение называется  биномиальным распределением вероятностей ввиду того, что эту формулу можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Задание 5-2. Найти  закон распределения случайной величины по формуле Бернулли.

1. Монета брошен

4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р  (0 < р < 1) и, следовательно, вероятность его не появления q = 1 - р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если собы­тие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k - 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X случайную дискретную величину - число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значе­ниями X являются натуральные числа: х_г= 1, Х₂ = 2, ...

Пусть в первых k - 1 испытаниях событие А не насту­пило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого "сложного события", по теореме умножения вероятностей независимых событий, P(X = k) = q^k-1 p.  Полагая k =1,2, 3 ..., получим геометри­ческую прогре

Свойства математического ожидания

Свойство  1.  Математическое  ожидание  по­стоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.

Свойство 2.   Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания: М(СХ) = СМ(Х).

Для понимания последующих свойств дополнительно введем несколько комментарий

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любо

Задание 5-9.

1. Задан закон распределения случайной дискретной вели­чины X. Вычислить математическое ожидание отклонения

Решение.  Математическое ожидание М(Х)=1·0,2+2·0,8 =1,8

Отклонения равны: 1 - 1,8 = -0,8;  2-1,8 = 0,2.

Математическое ожидание отклонения: М [X - М(Х)] = -0,8·0,2+ 0,2-0,8 = 0.

Теорема.  Математическое ожидание отклонения равно нулю

Это следует из следующих рассуждений. Учитывая, что математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий и то, что  математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), а также учитывая, что М (X) - постоянная величина, имеем:

М [X - М (X)] = М (X) - М [М (X)] = М (X) - М (X) = 0.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D (С)=0

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)-C² ·D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D (X + Y) = D (X) + D (У)

Следствия

1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

2. Дисперсия суммы постоянной вели­чины и случайной равна дисперсии случайной величины:

6. Функция   распределения  ДСВ

Случайная дискретная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для случайных непрерывных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий спо­соб задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть x  - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, т. е. вероятность события X < х, обозначим через F(x). Разу­меется, если х изменяется, то, изменяется и F(x)_.  Итак,  F (x) - функция от х.

Функцией распределения называют функцию F(х), опре­деляющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, или

F(х)=P(X<x)

С геометрической точки зрения F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина "функция распределения" используют термин "интегральная функция".

Теперь можно дать более точное определение случайной непрерывной величины.

Случайную величину назы­вают непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.