Тема 1.  Введение

План:

               1. Предмет теории вероятностей

               2. Краткие исторические сведения

Теоретические сведения

1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей  - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей случайных массовых явлений. однородных

Методы, открытые в теории вероятностей, получили свое продолжение в большинстве современных наук и отраслях деятельности человека.

Например:

1. Дождь идет в течении трех дней. Можно ли быть уверенным, что он прекратится на четвертые сутки.

2. После 10 испытаний некоторого прибора можно ли быть уверенным, что он не сломается на следующем испытании?

3. Теория  вероятностей может указать  на характер ошибок при статистических расчетах, указать ее пределы.

4. Производится   стрельба из орудия, установленного под задан­ным углом к горизонту. Пользуясь методами баллистики можно   найти  теоретическую  траекторию снаряда. Эта   траектория   вполне определяется    условиями стрельбы: начальной ско­ростью снаряда, углом бросания  и баллисти­ческим     коэффициентом. Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько откло­няется от теоретической траектории за счет совокупного таких факторов как: ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность струк­туры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метео­рологические условия и т. д.

Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях, мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок траекторий, образующий называемое рассеивание снарядов.

Тема 2.  Элементы комбинаторики

План:

1 Правило  суммы и произведения.

2 Перестановки,  размещения и  сочетания без повторений

3. Перестановки,  размещения и  сочетания с  повторениями.

4. Примеры комбинаторных задач из различных областей знаний

Теоретические сведения

Комбинаторика - раздел математики, рассматривающий вопросы создания совокупностей (комбинаций, соединений) из заданного множества объектов (элементов), подчиненных соответствующим  правилам или условиям.

Комбинаторика решает задачи, связанные с нахождением числа   комбинаций определенного типа, которые  можно составить из элементов заданного множества (группы) элементов (объектов)

Тема 2.  Элементы комбинаторики

План:

1 Правило  суммы и произведения.

2 Перестановки,  размещения и  сочетания без повторений

3. Перестановки,  размещения и  сочетания с  повторениями.

4. Примеры комбинаторных задач из различных областей знаний

Теоретические сведения

Комбинаторика - раздел математики, рассматривающий вопросы создания совокупностей (комбинаций, соединений) из заданного множества объектов (элементов), подчиненных соответствующим  правилам или условиям.

Комбинаторика решает задачи, связанные с нахождением числа   комбинаций определенного типа, которые  можно составить из элементов заданного множества (группы) элементов (объектов)

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно со­ставить из элементов, безразлично какой природы, задан­ного конечного множества. При непосредственном вычис­лении вероятностей часто используют формулы комбина­торики. Приведем наиболее употребительные из них.

Размещения, с  повторениями

Размещением из n элементов по k с повторениями -  кортежи, содержащая m элементов, взятых из данного множества, отличающихся либо элементами, либо их порядком следования, причем элементы в комбинациях могут повторяться от 1 до m раз.

Дано множество X={a,b,c,d}. составить все размещения  из этого четыре элементного множества по два с повторениями. Эта записывается в виде:  Ā _n^k.

Запишем  некоторые  кортежи длины 2. (a; a ), (a; b). (a; c),  (a; d), (b; b) …Всего таковых  кортежей    =  4·4=16.

3. Основы теории вероятности

План:

1.            Случайные события

2.            Классическое определение вероятности

3.            Вычисление вероятностей событий и комбинаторика

4.            Геометрическая вероятность

Теоретические сведения

1 Случайные события.

Случайное явление – явление, исход которого однозначно не определен. Это понятие можно трактовать в достаточно широком смысле.  А, именно: все в природе достаточно случайно, появление и рождение любого индивидуума есть случайное явление,  выбор товара в магазине также случайное явление, получение оценки на экзамене есть случайное явление, заболевание и выздоровление есть случайные явления и т.д.

Ограниченность  классического   определения вероятности.

1. Классический способ  опре­деления вероятности не применим к бесконечным множествам. событий (исходов).

2. Наиболее слабая сторона   классического определения состоит в том, что очень  часто   невозможно представить результат испытания в виде совокупности   элементарных событий.

3. Еще труднее указать   основания,   позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о   равно возможности   элементарных   исходов   испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате­риала.   Одн

4. Геометрическая вероятность

Чтобы преодолеть недостаток классического опре­деления вероятности, состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности.

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве про­странства Q элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной меры[1] на прямой, плоскости или в пространстве.

Событиями называются измеримые всевозможные подмножества множества Q.

В конкретных задачах испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области Q, а событие А — как попадание выбранной точки в некоторую под­обла

Тема 4.  Алгебра событий

План:

1. Сложения вероятностей несовместных событий

2. Умножение вероятностей

3. Условная вероятность

4. Полная  вероятность, формула Бейса.

5. Повторение испытаний

Теоретические сведения

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

1. Сложения вероятностей несовместных событий.

Сумма событий.

Суммой  двух событий А н В называют событие А + В, состоящее в появлении события А, или собы­тия В, или обоих этих событий.

Например, если из ору­дия произведены два выстрела и А - попадание при пер­вом выстреле, В - попадание при втором выстреле, то А+В - попадание при первом выстреле, или при вто­ром, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, кото­рое состоит в появлении хотя бы одного из этих собы­тий.

Например, событие А + В+ С состоит из  появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероят­ности Р(А) и Р_А(В) известны. Чтобы найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появиться и событие А и событие В необходимо воспользоваться следующей теоремой:.

Теорема. Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило;

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появи­лись:

Задание 4-5.

1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероят­ность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется ко­нусным (событие А),Р(А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - . конусный, т. е. условная вероятность Р_А(В)=7/9.

Вероятность гипотез.  Формула  Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B_lt В_а, . . . , В_п, образующих полную группу. Поскольку заранее не из­вестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А опреде­ляется по формуле полной вероятности

Р (А) = Р (В₁) P_В1 (A)+ P (В₂) Р_B2 (A) + . . + P (В_n) Р_Bn (A)