Ограниченность  классического   определения вероятности.

1. Классический способ  опре­деления вероятности не применим к бесконечным множествам. событий (исходов).

2. Наиболее слабая сторона   классического определения состоит в том, что очень  часто   невозможно представить результат испытания в виде совокупности   элементарных событий.

3. Еще труднее указать   основания,   позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о   равно возможности   элементарных   исходов   испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате­риала.   Однако  задачи,   в  которых   можно  исходить   из соображений симметрии,  на практике встречаются весьма редко.

В связи с этим рассматриваются иные способы вычисления вероятностей. К таковым относятся статистический способ вычисления вероятности и геометрическая вероятность, с которыми мы будем знакомиться в дальнейшем. состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям

Статистический способ подсчета вероятности.

Этот способ направлен на неоднократное установление частоты появления события с различным числом объектов  в рамках некоторого испытания.

Пример. На бахче готовят партию из десятка тонн арбузов к отправке. Что бы убедиться в их спелости надо просмотреть все арбузы, но тогда придется каждый арбуз пометить и он окажется не пригодным к отправке. На практике можно провести серию испытаний. Выбираем произвольно 10 арбузов и установим число спелых из них. Пусть таких оказалось 9 арбузов, тогда частота р₁=9/10. В другой партии их 15 арбузов оказалось 13 спелых, р₂=13/15. В третей частота оказалась равной  р₃ =18/18,  в четвертой – р₄= 6/7. Все полученные числа будут группировать около некоторого числа, являющееся средним арифметическим вычисленных частот:

р= (р₁.+ р₂+ р₃ + р₄) / 4 = (9/10+13/15+18/18+6/7) =761 / 840 »0,9059.

Запишем статистический способ подсчета вероятности в общем виде:

p₁=m₁ / n₁,  p₂=m₂ / n₂,  p₃=m₃ / n₃,  …. p_i=m_i / n_i.    1£  i  £ k

m_i  - число появления события, 

n_i   - число проведенных опытов (наблюдений, испытаний),

p_i  – частота появления события в каждом опыте

k  – опытов

Естественно предположить, что она будет различная. Вероятность рассматриваемого события будет равна среднему арифметическому полученных частот.

  p=(p₁ + p₂+p₃ + …+p_k) / k,  где р – статистическая вероятность.

Вероятность события в данном испытании называется число, около которого "группируются" относительные частоты при  нескольких

Для существования статистической вероятности собы­тия А требуется:

а)  возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное   число   испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б)   устойчивость  относительных  частот  появления  А в различных сериях достаточно  большого числа испыта­ний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; значения которой "колеблется около какого-то теоретического числа, например: от 0,39 до  0,41 и др.

Примеры вычисления вероятностей

Задание 3-1. Вычислить вероятности, приведя полное объяснение.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие - набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует собы­тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (А)= 1/10.

2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на­удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры,

Решение. Обозначим через В событие - набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. 10-9 = 90. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90.  Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов; Р (В) = 1/90.

3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4

Решение. Общее число равновозможных ис­ходов испытания равно 6-6 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность  P(A)=3:36=1/12.

4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных. Ответ 0,5

3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика.

Комбинаторные задачи  в теории  вероятностей имею большое практическое применение.. Рассмотрим решения некоторые из таких задач

Задание 3-1 .  Решить задачи средствами комбинаторики

1. Наудачу выбирается трехзначное число в десятичной записи числа, в которой нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно 2 одинаковые цифры?

Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последова­тельному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записы­ванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 9³ = 729. Количество благо­приятных случаев для интересующего нас события подсчитаем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать  = 36 способами; если х и у выбраны, то из них можно составить 3 различных числа в которых встречается  одна из выбранных цифр и другая – тоже три. Всего 6 раз, Число благоприятствующих случаев окажется равным 36 . Искомая вероятность равна: