Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероят­ности Р(А) и Р_А(В) известны. Чтобы найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появиться и событие А и событие В необходимо воспользоваться следующей теоремой:.

Теорема. Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило;

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появи­лись:

Задание 4-5.

1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероят­ность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется ко­нусным (событие А),Р(А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - . конусный, т. е. условная вероятность Р_А(В)=7/9.

По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А)Р_А (В) = (3/10)-(7/9) = 7/30.

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем:

Р (В) =7/10, Рв(А) = 3/9, Р(В)Рэ(Л) = 7/30, что наглядно иллюстрирует спра­ведливость равенства

2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не воз­вращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испы­тании появится белый шар (событие А), при втором - черный (собы­тие В), при третьем --синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании Р (А) = 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность Р_А(В)=4/11.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вы­численная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором- черный, т. е. условная вероятность Р_АВ (С) =3/10. Искомая вероятность Р=5/12 · 4/11· 3/10 = 1/22

Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависи­мыми.

Для     независимых     событий     теорема     умножения Р (AB) = Р (А) Р_А (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В)

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.

Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" неза­висимы.

Задание 4-6.

1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (собы­тие А) равна 0,8, а вторым (событие В) - 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность  Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0,7-0,8 = 0,56.

Замечание 1. Если_ события А_ и В независимы, то незави­симы также события А и В, А и В, А и В. Действительно, А = АВ + АВ. Следовательно,

Р(А)=Р(АВ) + Р(АВ). или Р(А)=Р(АВ) + Р(А)Р(В).

Отсюда Р(АВ)=Р(А)[1- Р(В)}, или Р(АВ)=Р(А)Р(В),т. е. события А и В независимы. 

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения не­скольких событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокуп­ности (или просто независимыми), если независимы ка­ждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Например, если со­бытия А₁, А₂, А₃ независимы в совокупности, то неза­висимы события А_г и А₂, A_t и А₃, А₂ и А₃; А^ и А₂А₉, A_t и Л,Л₃, А_я и А_гА₂.

Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероят­ность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие собы­тия из числа остальных, равна его безусловной вероят­ности.

Причем, если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарно независимости.

Пример. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один - в красный цвет (А), один - в синий цвет (В), один в черный цвет (С) и  один во все эти три цвета (АВС). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р(А) =2/4 = 1/2.

Рассуждая аналогично, найдем Р(В) = 1/2, Р(С) = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло. Изме­нится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-преж­нему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следова­тельно, события Аи В независимы. Аналогично придем к выводу, что события А и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказы­вается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероят­ность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В к С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность рвс(^а}-^ собы­тия А не равна его безусловной вероятности Р (А) -1/2. Итак, попарно независимые события A_t В, С не являются независимыми в совокупности.

Следствие из теоремы  умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности" равна произведению вероятностей этих событий:

Задание 4-7

1. Найти вероятность   совместного  появления герба при одном бросании двух монет.

Решение.  Вероятность  появления  герба  первой монеты (событие А). Р(А)=1/2. Вероятность появления герба второй монеты (событие В, Р(В) = 1/2. События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=1/2·1/2-1/4.

2. Имеется 3 ящика, содержания по 10 деталей. В пер­вом ящике 8, во второй 7, в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти веро­ятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение.   Вероятность  того,   что   из   первого   ящика вынута стандартная деталь (событие А), Р (А) =8/10 = 0,8. Вероятность   того,   что  из   второго   ящика   вынута   стандартная деталь (событие В), Р(В)=0,7. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),Р (С) =9/ 10 = 0,9.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то ис­комая вероятность (по теореме умножения) равна  Р(АВС) = Р (А) Р (В) Р (С) = 0,8·0,7·0,9 = 0,504.

3.. Совместное применение теорем сложения и умножения.

Вероятности появления каждого из трех независимых событий А₁, A₂, А₃  соответственно равны p₁ р₂, р₃. Найти вероят­ность появления только одного из этих событий.

Комментарии и ответ. Введем обозначения:

q₁,q₂, q₃ – вероятность не появления соответственно событий А₁, A₂, А₃  

В₁ - появилось только событие A₁ ,  В₁ = А₁ Ā₂Ā₃

В₂ - появилось только событие A₂,,  B₂= Ā₁A₂ Ā₃

В₃ - появилось только событие А₃,,  B₃= Ā ₁ Ā ₂A₃.

В – появление только одного из этих событий, Р(В) требуется вычислить.

Чтобы найти вероятность появления только одного из событий А₁, A₂, А₃  , будем искать вероятность появления одного, безразлично какого из событий В₁, B₂ ,B₃.

Так как события В₁, B₂ ,B₃.несовместны, то применима теорема сложения

Р(В)= P(В₁ + В₂ +В₃)=Р(В₁ )+Р(В₂ )+Р(В₃)= p₁ ,q₂  q₃ + q₁  р₂, q₃ + q₁,q₂, р₃

4.  Полная  вероятность

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, B₂ ,B₃. . . , В_n, которые образуют полную группу. Пусть известны веро­ятности этих событий и условные вероятности P_В1 (A), P_B2 (A), ..., Р _B2 (А) события А. Найти вероятность события  A. Задача решается согласно следующей теоремы и формулы

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несо­вместных событий В₁, B₂ ,B₃. . . , В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероят­ность события А:

Р (А) = Р (В₁) P_В1 (A)+ P (В₂) Р_B2 (A) + . . + P (В_n) Р_Bn (A) - формула полной вероятности

Задания 4-8.

1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) - стандартная.

Решение. Обозначим через А событие "извлеченная деталь стандартна".

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (собы­тие B₁), либо из второго (событие В₂).

Вероятность    того,    что   деталь    вынута    из    первого   набора равна  P(В₁) = 1/2.

Вероятность    того,   что   деталь   вынута   из   второго    набора равна Р(В₂)=1/2.

Условная вероятность того, что из первого набора будет извле­чена стандартная деталь, P_В1 (A) =0,8.

Условная вероятность того, что из второго набора будет извле­чена стандартная деталь, Р_B2 (A)=0,9

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь - стандартная, по формуле полной вероятности равна  Р (А) = Р (В₁) P_В1 (A)+ P (В₂) Р_B2 (A) = 0,5 · 0,8 + 0,5 · 0,9 = 0,85.

2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, среди них 18 стандартных; во второй коробке -10 ламп, из них 9 стандарт­ных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в пер­вую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим событие  А ="Из первой коробки извлечена стандартная лампа".

Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие B₁), либо нестандартная (событие В₂).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р(В₁) = 9/10.

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандарт­ная лампа, Р (В₂) = 1/10.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна P_В1 (A) = 19/21.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна Р_B2 (A)=18/21.

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извле­чена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

Р (А) = Р (В₁) P_В1 (A)+ P (В₂) Р_B2 (A) =9/10·19/21+1/10·18/21=0,9

Понятие "Полная вероятность" можно проиллюстрировать следующим образов.

Пусть  прямоугольник A состоит из трех частей B,C,D. Каждый прямоугольник частично закрашен. На рисунке это соответственно части1,2,3.

Бросается шарик на этот прямоугольник. В любом случае шарик попадет в одну их частей прямоугольника.. Причем он может попасть либо в закрашенную часть или  либо в не закрашенную.часть.. Какова вероятность попадания в закрашенную часть..

Имеем событие А="Шарик попал в закрашенную часть прямоугольника"

Процесс решения задачи распадается на два этапа*

1. Определяется вероятность попадания в отдельно каждую часть прямоугольника. Обозначим ее через P_B, P_C, P_D

2. Определяется вероятность попадания шарика в каждой части в закрещенную область именно соответствующей части.  Обозначим ее через p₁ , p₂, p₃.

P(A)= P_B· p_{1 +}P_C, , p₂, + P_D p₃.