Задание 4-12

1 .Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, n = 400; k = 80; р=0,2; q= 0,8. Вос­пользуемся асимптотической формулой Лапласа: P₄₀₀(80) = 0,04986.

.

2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию, п = 10; k = 8; р = 0,75; q = 0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:  P₁₀ (8)= 0,273.

 Интегральная теорема Лапласа

При решении практических задач часто приходится устанавливать инте5рвалные оценки вероятностей. Например:

1. Определить вероятность того, что в июне месяце число дождливых дней будет колебаться от 3 до 5 дней.

2. Определить  вероятность того, что число бракованных изделий будет находиться в промежутке от некоторого числа x до числа y.

 Предположим, что производится п испы­таний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Предлагается  вычислить  вероятность Р_п (k₁ ;k₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k₁  и не более k₂  раз. При решении таких задач используется интегральная теорема Лапласа.

 Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k_l1; k₂) того, что событие А появится в п испытаниях от k_t до fe_a раз, приближенно равна определенному интегралу

= Ф(х₂) - Ф(х₁)  или

Р_п (k₁ ;k₂) = Ф(х₂) - Ф(х₁). Функция Φ(x) нечетная? значения  функции  Ф(х) публикуются в соответствующих таблицах.. ,

Задание 4-13

1. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно ото­бранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, р = 0,2; q = 0,8; n = 400; k₂ = 70; k₂=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р₄₀₀ (100 ;70)= Ф(х₂) - Ф(х₁).

Вычислив х₁=-1,25; х₂=2,5, получим Р₄₀₀ (100 ;70)= Ф(2,5) - Ф(-1,25). По соответствующей таблице получим: Ф(2,5)=0,4938; Ф(-1,25).= - 0,3944.

Поэтому Р₄₀₀ (100 ;70)= 0,4938-(-0,3944)=0,4938-(-0,3944)=0,8882

Приближенная формула Пуассона.

При больших значениях n и малых значениях p справедлива формула Пуассона:

, где . Для этой функции также составлена соответствующая таблица

Для не сложных и не принципиальных расчетов, применимость формулы Лапласа и Пуассона определяется согласно следующему критерию: если npq ³10 применяется формула Лапласа, в противном случае рекомендуется к применению формула Пуассона. Существуют более точные критерии в определении  возможности применять ту или иную формулу.

Задание 4-14

1. Вероятность  наступления события A  в каждом их 900 независимых испытаниях равна p=0,8.. Найти вероятность того, что событие произойдет а) 750 раз; б) 710 раз. в) от 710 до 740 раз.

Решение. n=900, p=0,8 и q=1-0,8=0,2. npq=0,8·0,2·900=14,4 > 10. Значит, применима формула Лапласа.

а). k=750,     = ≈ 12,    тогда =(750-900·0,8) /12 ≈ 2,5,  По таблице значений этой функции φ(2,5) ≈ 0,0175.   P₉₀₀(750) ≈ 0,0175 / 12 ≈ 0,00146

б). k=710,  решается аналогично. х = - 0,83;  φ(- 0,83) = φ(0,83≈ 0,2827б,

      P₉₀₀ (710)  ≈ 0,2827б / 12 = 0,0236

в). 710 ≤ k ≤ 740, k₁=710, k₂=740.

=(710-900·0,8) / 12 ≈ -0,83.. =(740-900·0,8) / 12 ≈ 1,67. По соответствующей таблице имеем: Ф(х₁) ≈ Ф(-0,83)= - 0,2967,  Ф(х₂) ≈ Ф(1,67) ≈ 0,4527.

P₉₀₀(710 ≤ k ≤ 740) = 0,4527-(- 0,2967) =0,7492.

2. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность для каждого абонента того, что он позвонит в течение часа,  равна p=0,01. Найти вероятности событий в течение часа позвонят: а). 5 абонентов; б). не более 4 абонентов; в). не менее 3 абонентов.

Решение. p=0,01 – очень малое число, т=400 – очень большое число, q=1-0,01=0,99,  npq=0,01·0,99·400=3,96 < 10, поэтому применима формула Пуассона.  =400·0,01=4

а).  P₄₀₀(5)  ≈ ≈ 0,156298

б). P₄₀₀(0 ≤ k ≤ 4) = P₄₀₀(0) · P₄₀₀(1) · P₄₀₀(2)· P₄₀₀(3) · P₄₀₀(4)

P₄₀₀(0 ≤ k ≤ 4) ≈ 0,018316 +0,073263 +0,146525+0,195367 + 0,195367 = 0,628838

в). P₄₀₀(3 ≤ k ≤ 400)=1- P₄₀₀(0 ≤ k ≤ 2)=1-0,018316- 0,073263-0,146525=0,761896