Тема 5. Случайные дискретные величины  (ДСВ)

План:

1.  Понятие  случайной  величины и их  виды

2.  Закон  распределения  ДСВ.

3.  Биномиальное распределение,

4. Геометрическое распределение

5. Числовые характеристики и свойства ДСВ

6. Функция   распределения  ДСВ

Теоретические сведения

1. Понятие  случайных   величин и их  виды

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние. Это значение не известное и оно зависящее от некоторых случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Примеры случайных величин:

 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожден­ных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: О, 1, 2, .... 100.

2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принад­лежат некоторому промежутку (а, Ь).

3.  Урожайность любой культуры есть случайная величина, которую трудно прогнозировать, но эта величина находится в некотором интервале в зависимости от региона и культуры, а также иных причин.

4. Оценка на экзамене по теории вероятностей, в принципе случайная величина, принимающая значения 1,2,3,4.5.

5. Число принявшихся саженцев из купленных  10 штук.

Случайные величины обозначаются буквами латинского алфавита, например X,Y, Z. Их возможные значения обозначаются  соот­ветствующими строчными буквами x,y z. с индексами внизу

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные  величины

Случайной дискретной величиной является величина, значения которой отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений  этой величины. Случайная величина при этом принимает отдельные, изолированные возможные значения. Примеры 1, 4,5.

 Случайной непрерывной  величиной является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим воз­можных значений случайной величины.  Непрерывная случайная величина, принимать все свои значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной дискретной величины может быть конечным или бесконечным. Примеры 2,3.

2. Закон  распределения  ДСВ

При рассмотрении случайных дискретных вели­чин правомочен вопрос о вероятности появления каждого своего значения.

Законом распределения случайной дискретной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

 Закон распределения чаще всего задается  табличным способом. Возможно его задание графическим или  аналити­ческим (в виде формулы) способами.

При табличном задании - первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая -  их вероятности. См таблицу.

Значения величины  образуют полную группу, причем сумма их вероятностей равна единице p₁+ p₂ +…+ p_n =1.

Задание 5-1. Найти закон распределения

1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры­вается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по I руб. Найти закон распределения случайной величины X - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

 Решение. Напишем возможные значения X: х₁=50, x₂=I, x₃ = 0. Вычислим соответствующие им вероятности. Всего было 100 билетов, среди них один билет в 50 рублей, поэтому  р₁ =  1/100=0,01 и 10 билетов по 1 рублю, значит  р₂ = 10/100=0,1, p₃=l- (0,01 + 0,1) = 0,89.

Ответ Закон распределения: записан в виде таблицы

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

2. В новогодней школьной лотереи лотерее разыгрывается  1 книга,  10 игрушек, 100 открыток. Найти закон распределения случайной величины X  для владельца одного билета.