3.  Биномиальное распределение,

Производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появиться либо не появиться. Положим, что вероятность наступления события во всех  испытаниях постоянна и равна p.  Зададим  в этих испытаниях. случайную дискретную. величину X - число появлений со­бытия  A и для нее установим закон распреде­ления  

Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, .... либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x_i = 0,1,2,… n. Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли.

,  где n - число исходов, k =0,1,2,…n,  p - вероятность наступления события, q -  вероятность не наступления события (q =1-p)

Указанная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Полученное распределение называется  биномиальным распределением вероятностей ввиду того, что эту формулу можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Задание 5-2. Найти  закон распределения случайной величины по формуле Бернулли.

1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X - числа выпадений "герба".

Решение. Вероятность появления "герба" в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность не появления герба  9=1-1/2 = 1/2.

При двух бросаниях монеты "герб" может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X: 0,1,2.. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли.   Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

2. По мишени проводится 4 выстрела с вероятностью попадания 0,8. Найти закон распределения случайной величины Х – число попаданий в мишень.

Решение. Возможные значения случайной величины  х=0,1,2,3,4. Всего 5 значений. соответствующие им  вероятности находятся по формуле Бернулли:  р₀ =С₄⁰·0,8⁰·0,2⁴=0,0016. Аналогично находятся остальные вероятности.

Для наглядности закон распределения случайной дискретной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (X_i, P_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распре­деления. Он представлен на рисунке.

3.  Используя ответы в предыдущем задании, найти вероятности события 1 ≤ х ≤ 3 и вероятность события х ³ 3

Р(1 ≤ х ≤ 3) = Р(1,2,3) = 0,0256 +0,0536+0,4096 = 0,5888 и  Р(х ³ 3) = Р(4)= 0,4096

4. В ящике 7 шаров, из них белых - 4, черных -3. Извлекается наудачу 3 шара. Найти закон распределения случайной величины Х – число извлеченных белых шаров.

Распределение Пуассона

При рассмотрении случайной дискретной величины в которой число значения этой величины очень велико. то воспользоваться формулой Бернулли затруднительно. В таких случаях используется  распределение Пуассона, когда подсчет вероятности производится по формуле Пуассона, а  такое распределение называется распределением Пуассона

Формула Пуассона имеет вид  , где .

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (р мало) событий. Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь кото­рыми можно найти P_n(k), зная k и λ.

Задание 5-3. Записать распределение Пуассона.

1. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изде­лий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три  негодных изделия.

Решение.   n=5000, р=0,0002, k = 3. λ = np = 5000 -0.0002=1. По формуле Пуассона   искомая   вероятность  приближенно равна P₅₀₀₀(3)=(1³ :3!)·e^-1 =1:6e=0,06