4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р  (0 < р < 1) и, следовательно, вероятность его не появления q = 1 - р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если собы­тие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k - 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X случайную дискретную величину - число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значе­ниями X являются натуральные числа: х_г= 1, Х₂ = 2, ...

Пусть в первых k - 1 испытаниях событие А не насту­пило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого "сложного события", по теореме умножения вероятностей независимых событий, P(X = k) = q^k-1 p.  Полагая k =1,2, 3 ..., получим геометри­ческую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1):   p;  qp;  q²p, … q^k-1p

 По этой причине такое  распределение  называют геометри­ческим. Это есть пример задания закона распределения в виде формулы.

Задание 5-4. Геометрическое распределение.

1.  Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р =0,6, q = 0,4, k = 3.

Ответ.  Р= q^k-1p=0,4²·0,6=0,096

Задание 5-5. Распределение случайной дискретной величины

1. Даны значения случайной величины 2, 5, 8.   Известны  вероятности   первых двух возможных зна­чений 0,4 и 0,15. Найти вероятность третьего значения p(х_а). Ответ  0,45.

2.  Игральная   кость  брошена 3 раза. Написать закон распреде­ления числа появлений шестерки.

Ответ.        X         3             2               1                0

                      р      1/216      15/216      75/216      125/216

3.  Составить закон распределения вероятностей числа появлений события  А в трех независимых испытаниях, если вероятность появ­ления события в каждом испытании равна 0,6.

Ответ.     А         0             1             2             3

                   р      0,064      0,288      0,432      0,216

4.  Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004. Найти вероят­ность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на пяти веретенах.   Ответ.    Р₁₀₀₀(5)=0,1562.

5. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распре­делено по закону Пуассона.

Комментарии.   Задача   сводится   к   отысканию   параметра   λ. Он находится из  уравнения   е^--λ = 0,05.  Ответ.   3.

6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероят­ность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какова вероятность того, что в одну минуту позвонят 3 абонента? 4 абонента?  Ответ.   Р₁₀₀(3) = 0,18;   Р₁₀₀ (4) =0,09.

7.  Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содер­жит   1000   опечаток.   Найти   вероятность   того,   что   наудачу  взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки; в) не менее двух опечаток. Предполагается, что число опечаток рас­пределено по закону Пуассона.  Ответ. а) Р=1- е-^1!= 0,6321; 6) Р₁₀₀₀ (2) = 0,18395; в) Р = 0,2642.

8.  Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно 5. Найти   вероятность   того,   что   за   2   мин   поступит;   а)   два  вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Комментарии: е^-10 = 0,000045.  Ответ. а) 0,00225; б) 0,000495; в) 0,999505.

9.  Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести   очков. Найти   вероятность  того, что первое выпадение "шес­терки" произойдет при втором бросании игральной кости. Ответ. Р(х=2) = 5/36.

10.  В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероят­ность  того, что  среди  5  взятых наудачу деталей окажется 3 стандартных. Ответ.   P(х=3) = 14/33.

5. Числовые характеристики и свойства ДСВ

Закон распределения пол­ностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничи­ваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится, во-первых, математическое ожи­дание, дисперсия, квадратичное отклонение и др.

5.1. Математическое ожи­дание

Математическим ожиданием случайной дискретной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X имеет закон распределения, представленный таблицей, Тогда ее математическое ожи­дание определяется формулой   М (X) = x₁p₁+ х₂р₂ + ... + х_nр_п.

Из определения следует, что математическое ожидание случайной дискретной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем будет пока­зано, что математическое ожидание случайной непрерывной величины также есть постоянная величина.

Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной вели­чины. Для решения многих задач достаточно знать мате­матическое ожидание. Например, если известно, что мате­матическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в сред­нем выбивает больше очков, чем второй, и, следова­тельно, стреляет лучше второго.

Математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения ряда задач, подобных, знание математического ожидания оказывается достаточным.

Задание 5-6.

1. Найти математическое ожидание случайной вели­чины X, зная закон ее распределения:

X        3         5        2

р       0,1      0,6      0,3

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

М(Х) =-3·0,1+5·0,6 + 2·0,3 = 3,9.

2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

Решение. Случайная величина X ="Число появлений события А в одном испытании"  может принимать только два значения: х₁= 1 (событие А наступило) с вероятностью р и х_г =0 (событие А не наступило) с вероятностью q = I - р.

Искомое математическое ожидание равно М (X) = 1·p+ 0·q =p.

Математическое ожидание числа появлений собы­тия в одном испытании равно вероятности этого собы­тия. Этот результат будет использован в дальнейшем.

 Вероятностный смысл математического  ожидания  приближенно равно среднему арифмети­ческому наблюдаемых значений случайной величины, причем, чем  больше число   испытаний,  тем точнее результат.

Легко установить, что математическое ожида­ние больше наименьшего и меньше наибольшего из возможных значе­ний. Другими словами, на числовой оси возможные значения распо­ложены слева и справа от математического ожидания.

Ввиду того, что математическое ожидание характеризует расположение рас­пределения, его часто называют центром распреде­ления.

Про математическое ожидание можно сказать, что это  есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы - их вероятностям,

Происхождение термина "математическое ожи­дание" связываются  с начальным периодом применения теории вероят­ностей  в области азартных игр (XVI - XVII вв.), Игрока интересовало среднее значение ожи­даемого выигрыша, или математическое ожидание выигрыша.