Свойства математического
ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание
постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.
Свойство 2. Постоянный
множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) =
СМ(Х).
Для понимания последующих
свойств дополнительно введем несколько комментарий
Две случайные величины
называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит
от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае
случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют
взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не
зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Произведение независимых
случайных величин X и Y можно определить как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного
значения X на каждое
возможное значение У; вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных
значений сомножителей. Причем некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом
случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих
вероятностей.
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух
независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий
сомножителей
M(XY) = M(X)·M(Y).
Следствие. Математическое ожидание произведения
нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий.
Например, для трех
случайных величин имеем:
М (XYZ) = М (XY ·Z) = M (XY) M(Z)=M (X) ·М (Y) · М (Z).
Для произвольного числа
случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух
случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых. Математическое
ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий слагаемых.
M(X+Y) = M(X) + M(Y); M(X-Y)
= M(X)-M(Y)
Эти свойство также
распространяется на любое количество событий
Задание 5-6.
Выполнить задания, используя свойства математического ожидания.
1. Независимые случайные величины X и У заданы следующими законами распределения:
X 5 2 4 Y 7 9
р 0,6 0,1 0,3 р
0,8 0,2
Найти математическое ожидание
случайной величины XY .и X+Y
Решение.
М(Х) = 4.4; М (Y)= 7,4;
M(XY)=4,4·7,4=32,56;
M(X+Y) =
4,4+7,4=11,8
2. Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р1 = 0,4; ра
= 0,3 и ра = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа
попаданий.
Решение.
Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Xi, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с
вероятностью Pi =
0,4 и 0 (промах) с вероятностью 0=1-0,4 = 0,6.
Математическое ожидание числа
попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, М(Х1)=
0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и
третьем выстрелах: М(Х2)=0,3, М (X3) = 0.6.
Общее число попаданий есть
также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:
Математическое ожидание
находим по теореме о математическом ожидании суммы:
М (X) = М(Хг + Xz + Хя) = М (Х1)
+ М (Х2) + М (Х3) =.0,4+0,3 + 0,6 = 1,3
(попаданий).
3. Найти математическое ожидание суммы числа
очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение.
Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй - через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и
6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.
Найдем математическое
ожидание числа очков, которые могут выпасть на каждой кости:
M(X) = М (У) = 1·1/6 + 2·6 +3·1/6 +4·6+5·6+5·6=
7/2.
Искомое математическое
ожидание М (X + Y) = М (X) + М (У) = 7/2 + 7/2 = 7.
Замечание. При проведении независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность наступления события одинаковая, математическое ожидание равно
произведению числа таковых испытаний на эту вероятность.
Задание 5-7. Найти
математическое ожидание независимых испытаний
1. Произведено
10 выстрелов. Вероятность попадания
каждого – 0,6. Вычислить математическое ожидание события попаданий.
Решение. M=10·0,6=6
Задание 5-8.
1.
Найти математическое ожидание случайной
дискретной величины, зная закон ее распределения:
X 6 3 1
р 0,2 0,3 0,5 Ответ:2,6.
2. Производится
4 выстрела. Вероятность попадания каждого в цель равна 0,6;
0,2; 0.4; 0.5; 0,7. Найти
математическое ожидание общего числа попаданий.
Ответ: 2,2 попадания.
4. Независимые случайные дискретные величины
заданы законами распределения:
Х 1
2 Y
0,5 1
р 0,2 0,8 р 0,3
0,7
Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами: а) составив
закон распределения XY; б)
пользуясь свойством 3.
Ответ: 1,53.
4.
Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти
математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут
подвергнуты 10 деталей. Ответ: 2
детали.
5. Найти
математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном
бросании двух игральных костей. Ответ:12,25
очка.
6. Найти математическое ожидание
числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20
билетов. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3. Ответ: 6 билетов.
5.2. Дисперсия случайной
дискретной величины
Для сравнения нескольких величин не всегда
достаточно одного математического ожидания.
Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые
математические ожидания, но возможные различные значения.
Рассмотрим случайные
дискретные величины X и Y, заданные
следующими законами распределения;
X -0,01
0,01 Y
-100 100
р 0,5 0,5 р 0,5
0,5 М(Х) = 0 для обеих
величин одинаковое.
Несмотря на то математические
ожидания этих величин одинаковые и равны, возможные значения этих величин различны.
Причем величина X
имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а величина У -
далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь
математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие
возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического
ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную
величину не характеризует.
Для того чтобы оценить
характер отклонения (рассеивания) значений случайной величины вокруг ее
математического ожидания вводится числовой характеристикой - дисперсия.
Пусть X - случайная величина, М (X) - ее математическое ожидание.
Отклонением (центрированной
случайной величиной) называется
величина, равная разности между случайной величиной и ее математическим
ожиданиям. X - М(Х).
Xi
|
x1
|
x2
|
…
|
xn
|
Pi
|
p1
|
p2
|
…
|
pn
|
Пусть закон распределения X известен и задан таблицей
Напишем закон распределения
отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение хi - М
(X), достаточно, чтобы
случайная величина приняла значение хi Вероятность же этого события равна рi', следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение хi
- М (X), также равна рi.
хi - М (X)
|
x1 - М(Х)
|
x2-
М(Х)
|
…
|
xn-
М(Х)
|
Pi
|
p1
|
p2
|
…
|
pn
|
Таким образом, отклонение
имеет следующий закон распределения:
|