Свойства математического ожидания

Свойство  1.  Математическое  ожидание  по­стоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.

Свойство 2.   Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания: М(СХ) = СМ(Х).

Для понимания последующих свойств дополнительно введем несколько комментарий

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Произведение независимых случай­ных величин X и Y можно определить как случайную величину XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение У; вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Причем некоторые произведения  могут оказаться рав­ными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию математических ожиданий сомножителей

M(XY) = M(X)·M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных  величин имеем:

М (XYZ) = М (XY ·Z) = M (XY) M(Z)=M (X) ·М (Y) · М (Z).

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности  их математических ожиданий слагаемых.

M(X+Y) = M(X) + M(Y); M(X-Y) = M(X)-M(Y)

Эти свойство также распространяется на любое количество событий

Задание 5-6. Выполнить задания, используя свойства математического ожидания.

1. Независимые случайные величины X и У заданы следующими законами распределения:

X         5         2         4                                      Y         7         9

р        0,6       0,1      0,3                                    р        0,8      0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY .и X+Y

Решение. М(Х) = 4.4;   М (Y)= 7,4;    M(XY)=4,4·7,4=32,56;

  M(X+Y) = 4,4+7,4=11,8

2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁ = 0,4; р_а = 0,3 и р_а = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть слу­чайная величина Xi, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью Pi = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью 0=1-0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, М(Х₁)= 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(Х₂)=0,3, М (X₃) = 0.6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоя­щая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Математическое ожидание находим по теореме о мате­матическом ожидании суммы:

М (X) = М(Х_г + X_z + Х_я) = М (Х₁) + М (Х₂) + М (Х₃) =.0,4+0,3 + 0,6 = 1,3 (попаданий).

3.  Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй - через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероят­ность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на каждой кости:

M(X) = М (У) = 1·1/6 + 2·6 +3·1/6 +4·6+5·6+5·6= 7/2.

Искомое математическое ожидание  М (X + Y) = М (X) + М (У) = 7/2 + 7/2 = 7.

Замечание. При проведении независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события одинаковая, математическое ожидание равно произведению числа таковых испытаний на эту вероятность.

Задание 5-7. Найти математическое ожидание независимых испытаний

1. Произведено 10 выстрелов. Вероятность попадания  каждого – 0,6. Вычислить математическое ожидание события попаданий.

Решение. M=10·0,6=6

Задание 5-8.

1. Найти   математическое ожидание случайной дискретной величины, зная  закон ее распределения:

X         6         3        1

р      0,2      0,3      0,5            Ответ:2,6.

2.  Производится   4   выстрела.  Вероятность попадания каждого в цель равна 0,6; 0,2; 0.4; 0.5; 0,7.  Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Ответ: 2,2 попадания.

4.  Независимые случайные дискретные величины заданы законами распределения:

Х       1        2                          Y        0,5        1

р      0,2      0,8                         р        0,3      0,7

Найти математическое  ожидание произведения XY двумя способами: а)   составив   закон   распределения   XY;   б)   пользуясь   свойством   3.     Ответ: 1,53.

4. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.    Ответ: 2 детали.

5.  Найти   математическое  ожидание   произведения   числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.    Ответ:12,25 очка.

6. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.     Ответ: 6 билетов.

5.2. Дисперсия случайной дискретной   величины  

Для  сравнения нескольких величин не всегда достаточно одного математического ожидания.  Легко указать такие случайные величины, кото­рые имеют одинаковые математические ожидания, но возможные различные значения.

Рассмотрим случайные дискретные величины X и Y, заданные сле­дующими законами распределения;

X     -0,01     0,01         Y     -100     100

р       0,5      0,5           р        0,5      0,5         М(Х) = 0 для обеих величин одинаковое.

Несмотря на то математические ожидания этих величин одинаковые и равны, возможные значения этих величин различны. Причем величина X имеет воз­можные значения, близкие к математическому ожиданию, а величина У - далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рас­сеяны вокруг математического ожидания. Другими сло­вами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

Для того чтобы оценить характер отклонения (рассеивания) зна­чений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводится числовой характе­ристикой  - дисперсия.

Пусть X - случайная величина,  М (X) - ее ма­тематическое ожидание.

Отклонением (центрированной случайной вели­чиной) называется величина, равная разности между случайной ве­личиной и ее математическим ожиданиям. X - М(Х).

Пусть закон распределения X известен и задан таблицей

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х_i - М (X), доста­точно, чтобы случайная величина приняла значение х_i  Вероятность же этого события равна р_i', следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х_i  - М (X), также равна р_i.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения: