Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D (С)=0

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)-C² ·D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D (X + Y) = D (X) + D (У)

Следствия

1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

2. Дисперсия суммы постоянной вели­чины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X - Y) = D (X) + D (У)

Задание 5-12..

1. Вычислить дисперсии случайной величины, по ее закону распределения:

Решение. М(Х)=3,1;  М(Х²)=10,9; D(X)=10,9-3,1²=1,29

2. Дисперсия случайной величины X равна 3.

Найти дисперсию величин: K= -5X и  S= 4X+5.

Решение. D(K)= D(-5·X)=(-5)²·D(X)=25·3=75

D(S)= D(4X+5)= D(4X)+D(5)= 4²·D(X)+ D(5) =16·3 +0=48

Дисперсия числа   появлений   события в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Тогда дисперсия числа появлений со­бытия в этих испытаниях вычисляется по формуле:

 D(Х)=npq, n – число испытаний, p – вероятность наступления события,   q - вероятность не наступления события

Замечание. Учитывая, что величина А распределена по биномиаль­ному закону, то верно, что дисперсия биномиального распределения с параметрами пир равна произведению прq.

Задание 5-13..

1.Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X- числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. Известно, что n=10; p=0,6; q=1-0,6=0,4. D(X)=10·0,6·0,4=2,4.

5.3. Среднее квадратическое (квадратичное)  отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений слу­чайной величины вокруг ее среднего значения кроме дис­персии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением  случайной ве­личины X называют   квадратный   корень   из  дисперсии:

В тех случаях, когда жела­тельно, чтобы оценка рассеяния имела размерность слу­чайной величины, вычисляют среднее квадратическое от­клонение, а не дисперсию. Так, если X выражается в линейных метрах, то  будет выражаться также в линейных метрах, a D (X) - в квадратных метрах.

Задание 5-14..

1. Случайная   величина   X  задана  законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение

Решение.   М(Х) = 2· 0, 1+3·0,4 + 10·0,5 = 6,4.   

                   М(Х²) = 2²· 0,1 + 3²·0,4 + 10²·0,5 = 54.  

                   D(Х) = M(X²) - [M(Х)]² = 54 - 6,4²= 13,04.

                   Среднее квадратическое отклонение  =3,61.

2.  Известны дисперсии двух независимых случайных вели­чин: D(X) = 4, D(K)=3. Найти дисперсию суммы этих величин. Ответ: 7.

3..  Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин:

а) X- 1;            б) - 2Х;           в) ЗХ + б.     Ответ: а) 5;   б) 20;   в) 45.

4.   Случайная   величина X   принимает только два значения: С и -С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

Ответ: С².

5.  Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распре­деления

X     0,1        2         10         20

р     0,4      0,2       0,15     0,25        Ответ: 67,6404.

6.   Случайная величина X может принимать два возможных зна­чения:  х₁ с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью 0,7, причем х₂ > х₁. Найти х₁ и x₂ зная, что М(Х)=2,7 и D (X) =0,21.

Ответ: х₁₌ 2, х₂ = 3.

7.   Испытывается   устройство,   состоящее  из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p₁ = 0,3; р₂ = 0,4;  p₃ = 0,5;   p₄ = 0,6.   Найти   математическое ожидание и дис­персию числа отказавших приборов.  Ответ:1,8; 0,94.

8.  Найти  дисперсию  случайной   величины X - числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом вероят­ность наступления события равна 0,7. Ответ: 21.

9.  Дисперсия  случайной   величины   D(X) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение а (X). Ответ: 2,5.

10.  Случайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины. Ответ: 2,2.

11.  Дисперсия каждой   из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.  Ответ: 4.

12.  Среднее   квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных   взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти   среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.  Ответ: 2,5.