6. Функция   распределения  ДСВ

Случайная дискретная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для случайных непрерывных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий спо­соб задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть x  - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, т. е. вероятность события X < х, обозначим через F(x). Разу­меется, если х изменяется, то, изменяется и F(x)_.  Итак,  F (x) - функция от х.

Функцией распределения называют функцию F(х), опре­деляющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, или

F(х)=P(X<x)

С геометрической точки зрения F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина "функция распределения" используют термин "интегральная функция".

Теперь можно дать более точное определение случайной непрерывной величины.

Случайную величину назы­вают непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.

Свойства функции распределения        

Свойство  1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;!]:  0≤ F(х)≤1.                           

Свойство 2.  F (х) - неубывающая функция, т. е. F (x₂) ³ F (x₁), если х₂ > x₁

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом ин­тервале;

P(a ≤ X ≤b) = F (b) - F (а).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Замечание  При рассмотрении функции распределения, промежуток можно записывать в виде [x₁; x₂], тогда:

p(x₁≤ x ≤ x₂) = F (x₂) - F (x₁).-  что более понятно и привычно.

Не представляет интереса говорить о вероятности того, что случайная непрерывная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рас­сматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответ­ствует требованиям практических задач. Например, инте­ресуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что ра­венство нулю вероятности Р (X=x) означает, что событие X = х, невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значении; в частности, это значение может оказаться равным х₁.

Свойство 3. Пусть возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b). Тогда верны утверждения

F(x} = 0  при х≤ a;           F(x) = l при х ³ b.

Следствие. Если возможные значения случайной непрерывной величины расположены на всей оси х, то спра­ведливы следующие предельные утверждения:

- При x стремящемуся к минус бесконечности, предел  F(x} равен 0.

- При x стремящемся к плюс  бесконечности, предел  F(x} равен 1

Аналитическое и графическое задание функции распределения

Функция распределения случайной дискретной величины состоит из нескольких кусков, поэтому ее график имеет ступенчатый вид. Покажем это при решении задач.

Задание 5-15.  Найти функцию распределения и вычертить ее график.

1. Случайная дискретная  величина  X  задана таблицей распределения

X         1          4         8

Р       0,3       0,1      0,6

Решение.  Если х ≤ 1, то F(x) = 0 (третье свойство).

Если  1 < х ≤; 4, то F(x) = 0,3.

Если 4 < х ≤ 8, то F (х) = 0,3+0,1=0,4. Это следует из того, что эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события X равна сумме вероятностей.

Если х > 8, то F(x) = 1   Действительно,   событие  Х ≤ 8 досто­верно, следовательно, его вероятность равна единице.

Функция   распределения  задана  аналитически  и графически

           1              4               8

 3.  Дискретная   случайная   величина К задана   законом   распре­деления

Задать функцию распределения аналитически  и графически

Ответ

4. Дискретная   случайная   величина К задана   законом   распре­деления

X       2         6        10

р      0,5       0.4     0,1.     Задать функцию распределения аналитически  и графически