Тема 6. Случайные непрерывные величины (СНВ)

План:

1.    Понятие СНВ,  функция ее распределения

2.    Понятие плотности распределения, функция плотности НСВ

3.    Числовые характеристики НСВ.

4.    Законы распределения НСВ.

5.     Центральная предельная  теорема (теорема Ляпунова).

Теоретические сведения

1. Понятие СНВ,  функция ее распределения

Случайной непрерывной  величиной является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим воз­можных значений случайной величины.  

Случайная непрерывная величина, принимать все свои значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной дискретной величины может быть конечным или бесконечным.

При рассмотрении ДСВ рассматривалась функция F(x) распределения случайной дискретной величины. Аналогично можно вест речь и о функции распределения случайной непрерывной величины, для определенности ее так же обозначают как F(x).

Вместо термина "функция распределения" используют термин "интегральная функция", смысл которого будет понятен в дальнейшем. .

Свойства функции распределения случайной непрерывной величины аналогичны свойствам функция распределения случайной дискретной величины. Они были приведены при рассмотрении случайных дискретных величин.

Функция F(x) не убывающая, непрерывная, множество значений промежуток [0; 1].

Случайной непрерывной  величиной является величина, функция распределения F(x) которой, непрерывна на всей числовой оси.

Функция распределения СНВ F(x) есть кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некотором интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом ин­тервале;

P(a ≤ X ≤b) = F (b) - F (а).

При рассмотрении функции распределения, числовой промежуток записывается так же в виде [x₁; x₂], тогда вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в этом интервале равна:

p(x₁≤ x ≤ x₂) = F (x₂) - F (x₁).-  что более понятно и привычно.

Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Задание 6-1. Случайные непрерывные величины заданы функциями распределения

1.                

Найти вероятности того, что в результате испытания  величина X  примет значение, принадлежащее интервалу (0;2)

Решение. P(0<x<2)=F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2

2.   

Начертить график данной функции распределения.

2. Понятие плотности распределения, функция плотности НСВ

Непрерывная случайная величина задава­лась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную слу­чайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределение или плотностью вероятности (иногда ее называют диф­ференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (х) - первую производную от функции распределения F (х): f (х)= F'(х)

Из этого определения следует, что функция распре­деления F(х) является первообразной для плотности распре­деления f (х):  F(х)=ò f (х).

Функцию f (х) можно называть дифференциальной функцией

Таким образом, зная интегральную функцию (функцию распределения) можно найти дифференциальную функцию(функцию плотности) и наоборот по формулам:

f (х)= F'(х)                               F(х)=ò f (х).

Заметим, что для описания распределения вероятно­стей дискретной случайной величины плотность распре­деления неприменима.

2.1 Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случай­ная величина X примет значение, принадлежащее интер­валу (а. b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

P(a<X<b)= = F (b) - F (а)

Геометрически полученный результат можно истолко­вать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограни­ченной осью Ох, прямыми х = а и х = b, кривой распределения f(х).

Замечание. Если f(х) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то P(—а < X < а) - Р (÷Х÷ < а) = 2 .  Действительно,

Задание 6-2.

1. Задана плотность вероятности случайной величины Х.

Найти   вероятность того, что в результате испытания X примет зна­чение, принадлежащее интервалу (0,5;  1).

Решение. Искомая вероятность Р (0,5 < X < 1)= =x²÷¹_0,5=1²-0,5²= 1-0,25 = 0,75.

2. Задана   плотность  вероятности  случайной   ве­личины X

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность равна

3. Выполнить задания [1[1], С 64-78]

              1). Пример 2 с 65                  3). № 365 с 68                       5). № 372 – 376  с 75

              2). Пример 4 с 66                  4). Пример 4 с 71

2.2. Свойства плотности распределения

Свойство  1.  Плотность   распределения - неотрицательная функция.

Геометрически это свойство означает, что точ­ки, принадлежащие гра­фику плотности распреде­ления, расположены либо над осью Ох, либо на этой  оси.

График    плотности   распределения   называют   кривой распределения.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в  пределах от -  ¥ до +¥ равен   единице;

Геометрически это означает, что вся площадь криво­линейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

Если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то =1

2.3. Закон    равномерного   распределения вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практи­ка, приходится сталкиваться с различными распределе­ниями непрерывных случайных величин. Плотности рас­пределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, на­пример, законы равномерного, нормального и показатель­ного распределений. В настоящем параграфе рассматри­вается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены последующие темы.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непре­рывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в не­которых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности лю­бое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким об­разом, X имеет равномерное распределение.

3. Числовые характеристики НСВ.

1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называют определенный интеграл М(Х) =

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то М(Х) =

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т, е. существует интеграл   то М(Х) =. Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) ниж­него предела к -¥ , а верхнего - к +¥

По аналогии с дисперсией дискретной величины опре­деляется и дисперсия непрерывной величины.

2. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку [а, b], то

D(x)=

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то D(x)=

3. Среднее квадратическое отклонение непрерывной слу­чайной величины определяется, как и для величины диск­ретной, равенством   .

Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непре­рывных величин.

Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

)=       

)=