Задание 6-3.

1. Случайная величина X задана плотностью распре­деления

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X. Согласно определениям 1 и 2 имеем:

 » 0,47.

Задание 6-4.  [5[1], C 126], примеры 1-2.

5. Законы распределения НСВ

5.1. Равномерное распределение. Распределение вероятностей не­прерывной случайной величины X, принимающей все свои значе­ния из отрезка [а; 6], называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.

 Отсюда получим  

Но, как известно =1, то из последнего равенства получим c=1/(b-a)

Итак, плотность вероятности непрерывной случайной величи­ны X, распределенной равномерно на отрезке [а; 6], имеет вид:

Задание 6-5.  На отрезке [а; b] наугад указывают точку. Ка­кова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Обозначим через X случайную величину,— координата выбран­ной точки. X распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов: «наугад указывают точку»), а так как середина отрез­ка [а; 6] имеет координату ^i—, то искомая вероятность равна (см. § 49, п. 2):

Впрочем, этот результат был ясен с самого начала.

5.2. Закон нормального распределения

Закон распределения вероятностей непрерывной слу­чайной величины X называется нормальным, если ее дифференци­альная функция f (x) определяется формулой

где: а = М (X) – математическое ожидание величины X, - является средним квадратическим отклонением величины.

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: s и а. Достаточно знать эти пара­метры, чтобы задать нормальное распределение.

Вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, s  среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

            Свойства функции у = f (x):

1. Функция у = f (x) – определена, непрерывна, положительная на всей числовой оси,

2. Функция у = f (x) является четной, и ее график симметричен относительно оси Оу.

3. При х ® +¥ или х® -¥, у ®0.

4.  В  точке  х = 0  функция  у = / (х) принимает значение у_шах =

так как ее производная

обращается в точке х = 0 в нуль с изменением знака + на — при переходе через   нее,

5.  По второй производной

находятся две точки перегиба графика из условия у" = 0: x _1-2  = ±s.  В этих точках функция у = f (x) принимает значение

6. График функции у = / (х) изображен на рисунке

Отметим, что, чем больше s, тем меньше у_{max  b}  тем дальше точки перегиба отстоят от начала координат, и наоборот, см рисунок.

Если а ¹ 0, то график функции у = f (x) по оси ОX сдвигается на а единиц.

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и а = 1 назы­вается нормированным. Дифференциальная функция в случае та­кого распределения будет:

Функция j(x) -четная

Для этой функции составлена таблица ее зна­чений для положительных значений х Такая таблица находится в соответствующих справочниках и учебниках.

Пусть случайная величина X  распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b)  вычисляется по формуле:

Сделаем в этом   интеграле   замену   пере­менной,  полагая (x-a)/ s = t. Тогда: х = а + st

 dx = s t   и

 Имеется в виду, что не берется в элементарных функциях. Для его вычисления вводится функция Лапласа (интеграл вероятностей)

Функция Ф(х) - монотонно возрастающая, нечетная.

Для ее значений также составлена соответствующая таблица значений, поэтому при решении задач применяется формула:

Задание 6-6.  Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 30 и s = 10. Найти ве­роятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).

Решение::

По таблице приложения 3 находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

Р (10 < X < 50) = 2 • 0,4772 = 0,9544.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от ее математи­ческого ожидания по абсолютной величине меньше заданного поло­жительного числа δ, т. е. найти Р (Х — а) < δ). Используя соответствующую фор­мулу и нечетность функции Ф (х), имеем: Р (Х — а\ < б) =

Задание 6-7.  Пусть случайная величина X распределена по нормальному  закону  с   параметрами   а = 20   и   s = 10.   Найти

Решение.

По таблице приложения находим: Ф (0,3) = 0,1179.

Поэтому