5.3.  Распределение случайных ошибок измерения. Пусть произ­водится измерение некоторой величины. Разность х — а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой вели­чины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникающие при округлении, и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически дей­ствующих факторов (например, неисправности приборов, завышаю­щих при каждом измерении показания приборов), приводящих к систематическим ошибкам, то МО случайных ошибок равно нулю.

Итак, принимается положение: при отсутствии систематически действующих факторов ошибка измерения есть случайная величина (обозначим ее через Т), распределенная нормально, причем ее МО равно нулю, т. е. плотность вероятности величины Т равна:

где s -  среднеквадратическое отклонение величины Т, характери­зующее разброс результатов измерения вокруг измеряемой вели­чины.

В силу предыдущего результат измерения есть также случайная величина (обозначим ее через X), связанная с Т зависимостью

X = a + Т.

Отсюда: М (X) = а, s (X) = s (Т) = s и X имеет нор­мальный закон распределения.

Заметим, что случайная ошибка измерения, как и результаты измерения, всегда выражаются в некоторых целых единицах, связанных с шагом шкалы измерительного прибора; в теории удоб­нее считать случайную ошибку непрерывной случайной величиной, что упрощает расчеты.

При измерении возможны две ситуации:

а)  известно о (это характеристика прибора и комплекса условий, при которых производятся наблюдения), требуется по результатам измерений оценить а;

б)  о неизвестно, требуется по результатам измерений оцепить s и а.

5.4. Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной вели­чины X, которое описывается плотностью

   где X — положительная постоянная величина.

Мы видим, что показательное распределение опреде­ляется одним параметром l  Эта особенность показа­тельного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д.

Примером случайной непрерывной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока

Найдем функцию распределения показательного закона:

Итак

Мы определили показательный закон с помощью плот­ности распределения; ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.

Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рисунке.

Задание 6-8.  Написать плотность и функцию распределения показа­тельного закона, если параметр А. = 8.

Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

Искомая функция распределения

5.5. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

Имеем формулу: 

Поэтому

Значения функции е^-l находятся по соответствующей таблице.

Задание 6-9.  Непрерывная   случайная   величина   X распределена по показательному закону

Найти   вероятность   того,   что   в   результате   испытания  величина X  попадает в интервал (0,3, 1).

Решение.   По   условию,   А = 2.   Воспользуемся формулой

5.6. Числовые   характеристики   показательного распределения

Пусть  непрерывная случайная величина X рас­пределена по показательному закону

Найдем  математическое ожидание

Интегрируя по частям, получим

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра l. Найдем дисперсию:

Интегрируя по частям,  получим

Следовательно,

Найдем среднее квадратическое отклонение, для  чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

Итак, получаем, что математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Задание 6-10.  Непрерывная   случайная   величина   X распределена по показательному закону

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X,

Решение. По условию, К = 5. Следовательно,

Замечание 1. Пусть на практике изучается показательно распределенная случайная величина, причем параметр l неизвестен. Если математическое ожидание также неизвестно, то находят его оценку (приближенное значение), в качестве которой принимают выборочную среднюю х. Тогда приближенное зна­чение параметра l находят с помощью равенства l²=1/ù x

Замечание 2. Допустим, имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того чтобы проверить эту гипотезу, находят оценки математического ожидания и среднего квадратического откло­нения, т. е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного рас­пределения равны между собой, поэтому их оценки должны разли­чаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к дру­гой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательной распределении изучаемой величины; если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надеж­ности.