5.7. Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, "простое" оно или "сложное".

Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину - длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t то, следовательно, за время длитель­ностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F (t)=P(T<t) определяет вероятность отказа за время длитель­ностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность про­тивоположного события Т > t, равна

Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую надежность работы элемента за время длительностью t:

5.8. Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

Следовательно, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид

Показательным   законом надежности называют функ­цию надежности, определяемую равенством

где l интенсивность отказов

.

Как следует из определения функции надежности, эта формула позволяет найти вероятность без­отказной работы элемента на интервале времени длитель­ностью t_t если время безотказной работы имеет, показа­тельное распределение.

Задание 6-11.  Время   безотказной   работы   элемента   распределено   по  показательному закону

(t — время). Найти  вероятность того,  что элемент проработает безотказно  100 ч.

Решение.     По   условию,   постоянная   интенсивность   отказов А, = 0,02

Вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,14.

Замечание. Если отказы элементов в случайные моменты времени образуют простейший поток, то вероятность того, что за время длительностью t не наступит ни одного отказа

поскольку   X   в обеих формулах имеет один и тот же смысл (постоянная, интенсивность отказов).

5.9. Характеристическое свойство показательного закона надежности.

 Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обла­дает следующим важным свойством: "Вероятность безот­казной работы элемента на интервале времени длитель­ностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивно­сти отказов l)".

Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в бли­жайшем будущем".

Замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством обладает только показательное распределение. Поэтому если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Например, при допу­щении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, слу­чайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.

Задание 6-12.

1.  Написать функцию распределения F (х) и плотность вероятности f(х) непрерывной случайной величины X, распределен­ной по показательному закону с l = 5.

2. Непрерывная   случайная   величина   X   распределена по пока­зательному закону:

Найти вероятность  того,   что  в   результате   испытания X попадет в интер­вал (0.4.  1).

4. Непрерывная  случайная величина X распределена по показа­тельному   закону

Найти математическое ожидание, среднее к в ад и этическое отклонение и дисперсию л.

5 Время  безотказной   работы элемента распределено по показа­тельному   закону

где   t — время,  ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч. Ответ. 0,37.

Контрольные вопросы и задания

1.  Определение СНВ

2.  Понятие интегральной и дифференциальной функции, их свойства и график

3.  Формулы для нахождения М(Х) и D(X).

4.  Алгоритм нахождения среднего квадратичного отклонения для СНВ

5.  Дать характеристику  законам распределения СНВ.

6.  Понятие функции надежности.

Примерная тематика практических  замятий

1. Вычисление вероятностей и нахождения характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

2. Решение задач на формулу геометрического определения вероятности (для одномерного случая, для двумерного случая, для простейших функций от двух независимых равномерно распределенных величии)

3. Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально распределенных величин);

4. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины

Требования к знаниям умениям и навыкам

Студент должен  знать  определение и свойства функции плотности НСВ;   формулу  функции  плотности для  равномерно распределённой НСВ;  определение  и  свойства  интегральной  функции распределения НСВ. Уметь вести расчет вероятностей для НСВ по её функции плотности и интегральной  функции распределения. Вычислять математическое   ожидания,   дисперсию, среднеквадратическое  отклонение. и медиану НСВ.