Тема 8. Элементы математической статистики

План:

1. Основные понятия  математической статистики

2. Выборочный метод

3. Числовые характеристики выборки

4. Интервальные оценки, доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Теоретические сведения

Наука "теория вероятностей" неотделима от другой математической науки, которая получила название "математическая статистика". Эти две науки дополняют друг друга во многих,  общих и частных вопросах

1. Основные понятия

1.1. Математическая статистика как наука.

Для успешного функционирования человеческого общества требуется различные сведения о людях, входящих в него. Это, например, сведения о числе жителей, число детей, мужчин и женщин, стариков, рожденных в определенный год. Часто требуются сведения об образовании, наличии вооружения, денежных средств. Таковые сведения и им подобные  образуют статистические данные. Их часто называют вариантами, переменными, значениями, величины и др. Над статистическими данными можно проводить определенные математические операции, по ним можно строить про­гнозы, оценивать их достоверность. Всем этим занимается мат математическая наука, которая получила название  «математическая статистика" Таким образом, в математике сформировалась новая область, изучающая общие закономерности статистических данных или яв­лений и взаимосвязи между ними.

Статистика представляет собой отрасль знаний,  которая обрабатывает большие массивы данных

Объектом исследования статистических данных являются однородные массовые явления, которые отличаются друг от друга по единичному показателю или, как говорят, имеют, варьирующие  показатели

Предметом исследования статистики является оценка статистических совокупностей, где применяется специальные математико-статистические  методы, которые имеют определенную цель при обработке результатов.

Сфера применения математической статистики распространилась во многие, особенно экспериментальные, науки. Так появились экономическая статистика, медицинская статистика, биологическая статистика, статистическая физика и т.д. С появлением быстродействующих ЭВМ возможность применения математической статистики в различных сферах деятельности человека постоянно возрастает. Расширяется ее приложение и к области фи­зической культуры и спорта. В связи с этим основные понятия, положения и некоторые методы математической статистики рассматриваются в курсе "Спортивная метрология".

На современном этапе развития математической статистики и метрологии можно говорить о новом направлении  в математике как "Спортивная статистика", как науке об однородных массовых явлениях в практике физкультуры и спорта.

Одним из основных понятий математической статистики являются "статистические данные", которые трактуются как собранные сведения, об одном или нескольких объектах, которые могут подвергаться статистиче­ской обработке.

Виды статистических данных:

 1. Качественные. Труднодоступные для измерения или не подвергающие измерению, ввиду того, что их невозможно измерить. К таковым можно отнести цвет объекта, результат выполнения операции сравнения (равно, больше, меньше; сильно, слабо),

2. Количественные. Их можно измерять и представить в виде числа общих мер (12 кг. 5м, 10 раз, 15с);

3. Точные. Величина или качество таких данных не вызывают сомнений. Группа состоит из 5 человек, в классе находится 5 столов.

4. Приближенные. Величина или качество которых - вызывает сомнение. Любые измерения приводят к приближенным данным. Например, рост, вес, время. К ним относятся близкие понятия: синий или  голубой цвет, мокрый или  влажный

5. Определенные (детерминированные). Причины их появления, не появления или изменения известны. Например, 2 + 3 = 5, подброшен­ный вверх камень обязательно будет в определенный момент иметь вертикальную скорость, равную 0.

6. Случайные. Причины их появляться, не появляться или изменения не известны. Например, пойдет дождь, команда выиграет, результат в беге на 100 будет равен  12,2с, при­нятая нагрузка вредная.

В большинстве случаев в физической культу­ре и спорте мы имеем дело с приближенными случайными или случайными данными.

Статистическим признаком назы­вают общее свойство, присущее нескольким статистическим данным. Например, рост игроков команды, ре­зультат бега на 100 м, принадлежность объекта к какому-то виду. к виду спорта, частота сердечных со­кращений и т.д.

1. 2. Статистические совокупности

Статистической совокупностью называют несколько статистических данных, объединенных в группу хотя бы одним статистическим признаком. Например, спортсмены, имеющие одинаковый разряд, пол, возраст. Общим признаком может служить и некоторый показатель: например, результаты прыжков в длину.

Объемом статистической совокупности называют число данных, входящих в нее. Например, в соревновании участвовали n=20 человек

Различают следующие совокупности:

1.   Бесконечные -  n=¥. Число элементов таких совокупностей не может быть уставлено ввиду того, что их большое количество (масса планет, число молекул, множество натуральных чисел)

2.   Конечные                -    п - конечное число,

3.   Большие                  -    п > 30;

4.   Малые                     -    п < 30;

5.   Генеральные           -  содержащие все данные, обусловленные постановкой задачи

6.   Выборочные           -  некоторые  части генеральных совокупностей.

  Законы, свойства понятия математической статистки и весь ее математический аппарат позволяет не только механически обрабатывать статистические данные, но способствует анализировать, оценивать, сравнивать объекты о или нескольких совокупностей.

  При проведении научных методических и иных исследований для чистоты эксперимента  организуются одна или несколько контрольных группа и экспериментальных групп. Каждая из них должна быть равносильна остальным по исследуемым   показателям.  При этом перед  экспериментатором и его оппонентами  непосредственно могут возникнуть такие вопросы как:

1.   Какова должна быть численность групп?

2.   Можно ли утверждать то, что в экспериментальной группе не допущена фальсификация  фактов?

3.   Насколько достоверны полученные результаты?

4.   С помощью какого математического аппарата надо обрабатывать полученные данные? и т.д.

Каждый из таких вопросов требует однозначного или приближенного, но с высокой точностью достоверности ответа. Надо отметить, что математическая статистика успешно решая проблемы, возникающие на основе перечисленных вопросов,  вооружает исследователей необходимым математическим аппаратом, давая соответствующие   теоретические обоснования и практические рекомендации.

2. Выборочный метод

2.1. Генеральная совокупность и выборка

Пусть требуется изучить множество однородных объектов (статистическую совокупность) относительно некоторого каче­ственного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количествен­ным - контролируемый размер детали.

Лучше всего произвести сплошное обследование, т. е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причи­нам это сделать невозможно. Препятствовать сплошному обследо­ванию может большое число объектов, недоступность их. Если, на­пример, нужно знать среднюю глубину воронки при взрыве снаря­да из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы уничтожим всю партию.

Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокуп­ности выбирают для изучения часть объектов.

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объек­тов, называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборкой.

Число объектов генеральной совокупности и выборки называ­ется соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследу­ют и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной.

Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

На практике чаще используется бесповторная выборка.

Свойства объектов выборки должны правильно отражать свой­ства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, вы­борка должна быть репрезентативной (представительной).

Счита­ется, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т. е. выбор производится случайно.

Например, для того чтобы оце­нить будущий урожай, можно сделать выборку из генеральной совокупности еще не созревших плодов и исследовать их характе­ристики (массу, качество и пр.)-  Если вся выборка будет сделана с одного дерева, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных плодов со слу­чайно выбранных деревьев.

Выборка – подмножество всей совокупности и поэтому она может содержать  любое число элементов, но не большее, чем объем совокупности.  Выборка формируются случайным образом, серийно, по некоторому закону или правилу и др.