2.1. Генеральная и выборочная средние.

При обработке данных могут быть рассмотренными средние показатели, которые могут быть генеральными или выборочными средними значениями.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно количественного признака X.

Генеральной средней х_сред (или а) назы­вается среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x₁ x₂, ..., х_п признака генеральной совокуп­ности объема N различны, то

Как уже отмечалось ранее, извлечение объекта из генеральной совокупности есть наблюдение случайной величины X.

Пусть все значения x_it x_z, ..., х_п различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью 1 / N, то

Такой же итог следует, если значения x_1t x₂, ..., х_k имеют со­ответственно частоты ni, N₁, N₂, …N_k

В случае непрерывного распределения признака X  полагают  x_сред = М (X).

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X произведена выборка объема п.

Выборочной  средней      называется  среднее арифметическое значений признака выборочной совокуп­ности.

Если все значения x₁ x₂, ..., х_п признака выборки объема п различны, то

или

Задание 8-3. Выборочным путем были получены следующие данные о массе 20 яблок (в г): 30, 30, 25, 32, 30,25,33,32,29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23.28. 31. ЯВ. ЯП. Найти выборочную среднюю величину .

Решение:

Ответ

Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать зна­чения x₁ x₂, ..., х_п признака различными.

Выборочная средняя для различных выборок того же объема п из той же генеральной совокупности будет получаться, вообще говоря, различной. И это не удивительно - ведь извлече­ние 1- го по счету объекта есть наблюдение случайной величины X_t, а их среднее арифметическое   есть тоже случайная величина.

Таким образом, всевозможные могущие получиться выборочные средние есть возможные значения случайной величины X, которая называется выборочной средней случайной величиной.

Найдем М (), пользуясь тем, что М (X_i) = М (X).

С учетом свойств МО получаем:

Итак, М(Х) (МО выборочной средней) совпадает с а (генеральной средней).

Найдем D (X). Так как D (Х_i) = D (X) и   X₁ X₂ … Х„ независимы, то согласно свойствам дисперсии получаем:

Если варианта х_i  большие числа, то для облегчения вычисления выборочной средней применяют сле­дующий прием. Пусть С - константа.

Так   как

то:

Константу С (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы, разности x_i - С были небольшими и число С было "круглым", а именно, оканчивалось нулями.

 Задание 8-4. Для заданной выборки найти выборочную среднюю величину.

Решение. Берем ложный ноль С - 72,00 и вычисляем разности: a_i= x_i - С

а₁ + а₂ + … + a₁₀ = -0,38; среднее арифметиче­ское: - =-038: 10 = -0,038» - 0,04.

Выборочная средняя равна разности между ложным нулем и найденным средним значением:

3.2.  Генеральная и выборочная дисперсии.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят следующую характеристику - генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией D_r называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней х_г.

Если все значения x₁ х₂, ..., x_N   признака генеральной совокуп­ности объема N различны, то

Если же значения признака х_г, х₂, ..., x_k имеют соответственно частоты  N₁,  N_{2 …} N_k  причем  ni + N₂ + ... + N_k = N,  то

Задание 8-5. Найти генеральную дисперсию для генеральной совокупности, заданной таблицей рас­пределения:

Решение.

Генеральным средним  квадратическим отклонением (стандар­том) называется  s =

Пусть все значения x₁ х₂, ..., x_N   различны.

Найдем дисперсию признака X, рассматриваемого как случай­ную величину:

Таким образом, дисперсия D (X) равна D_r.

Такой же итог следует, если значения  x₁ х₂, ..., x_k   имеют со­ответственно частоты N_1t N₂, ..." N_k.

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают:

Эту формулу можно записать в виде:  

откуда                    или

Величина       называется средней квадратической ошибкой.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых зна­чений количественного признака выборки вокруг своего значения      вводят   выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_B называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых  зна­чений признака X от выборочной средней .

Если все значения x₁ x₂, ..., х_п признака выборки объема   п  различны, то

Если же значения признака x₁ x₂, ..., х_k  имеют соответственно частоты n₁ n₂…n_k, причем n₁ +n₂+…+n_k,= n, то

Выборочным  средним   квадратическим   отклонением   (стандартным отклонением) называется квадратный корень из выборочной дисперсии: