4. Интервальные оценки, доверительные интервалы для параметров

нормального распределения

4.1. Надежность, доверительные   интервалы.   

При оценивании многих параметров можно указать одно число, но на практике мы редко имеем дело с точными результатами, но всегда можно указать некоторый интервал, в который входит полученный результат либо при измерении или при обработке результатов измерений.

Точечной оценкой называется оценка, которая характеризуется одним число.

Например, число элементов в выборке, число проведенных испытаний и др.

Интервальной оценкой называется оценка, которая определяется двумя числами, которые являются  концами (границами) интервала. Причем, изменяя длину  такого интервала, можно добиться установленной заранее точности и надежности измерения или вычисления.

Точность оценки обозначается буквой δ,  (δ>0)  является оценкой неизвестного параметра R по его приближенному значению r, вернее, является отклонением  r от R не более, чем на δ.

При этом имеет место выражение:

÷R-r÷ < δ

Очевидно, что чем меньше δ, тем точнее  оценка.

Надежность оценки обозначается буквой γ, является оценкой вероятности с которой осуществляется неравенство: ÷R-r÷ < δ.

При этом имеет место выражение:

P(÷R-r÷ < δ)= γ

Надежность оценки γ обычно задается заранее, причем надежности γ  обычно присваивают одно из значений 0,95, или 0,99, или 0,999.

Доверительным интервалом называется интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной точностью γ.

Понятие "покрывает" можно трактовать, как неизвестный показатель может попасть в доверительный интервал с указанной точностью.

Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный до­верительный интервал покрывает параметр r. Но в этом можно быть уверенным на 95% при γ = 0,95, на 99% при γ = 0,99 и т. д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, γ = 0,95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют r

 Замечание. В ряде учебных пособиях  приближенное  и точное значение обозначается не буквами R и r, другими, свойственными данному автору буквами. Например , учитывая трудность их написание на компьютере, мы ввели иные буквы, что не меняет сути вопроса.

4.2. Доверительный    интервал   математического ожидания  a при  известном  среднем квадратичном отклонении σ.

В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение σ ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения производятся одним и тем же прибором при одних и тех же условиях, то MO для всех измерений одно и то же и обычно бывает известно.

Пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами:

a – не известное математическое ожидание,  

σ – известное квадратичное отклонение.

Построим доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с заданной на­дежностью γ. Данные выборки есть реализации случайных вели­чин X₁ X₂, … Х_п  имеющих нормальное распределение с парамет­рами а и σ. Оказывается, что и выборочная средняя случайная   величина   X_сред =(1/n)·(Х₁ + Х₂ + ... + Х_n) тоже    имеет нормальное распределение (примется  без доказательства).

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р (÷ X_сред - а÷  < δ) = γ, где γ - заданная надежность.

Получим:

Так как Р задана и равна γ то окончательно имеем (для получения рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на ):

Здесь число t определяется из равенства 2Ф(t)= γ, которое находится по соответствующей таблице значений.

Точность оценки определяется формулой

Как было сказано выше, надежность γ принимают равной или 0,95, или 0,99, или 0,999.

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал, отраженный формуле,  покрывает неизвестный параметр  a – математическое ожидание, с точностью оценки δ.

Задание 8-9.  Признак X распределен в генеральной совокуп­ности нормально, σ = 0,40. Найти по данным выборки доверительный интервал для математического ожидания a с надежностью γ = 0,99, если п = 20,  =6,34

Решение.

По таблице значений этой функции находим  t=2,56

Следовательно

Концы доверительного интервала 6,34 - 0,23 = 6,11 и 6,34 + 0,23 - = 6,57.

Ответ. Доверительный интервал (6,11; 6,57[ покрывает а с надежностью 0,99.