4.3. Доверительный   интервал   для   МО    при    неизвестном   среднем квадратичном отклонении σ.

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и σ.

По данным выборки можно построить случайную величину T - ее возможные значения будем обозначать через t:

, где n – объем выборки, - выборочная средняя, S- исправленное среднее квадратическое отклонение, имеет распределение, не зависящее от a и  σ. Оно называется распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика Госсета).

Плотность вероятности распределения Стьюдента   определяется  фор­мулой:

где коэффициент В_п зависит от объема выборки. Потребуем,   чтобы  выполнялось  соотношение

где  γ - заданная   надежность.

Так как S (t, п) - четная функция от t, то, получим:

Следовательно,   приходим  к утверждению: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр а, точность оценки

Здесь случайные величины X и S заменены неслучайными величинами  и s, найденными по выборке.

В приложении 4 приведена таблица значений t = t (γ, п) для различных значений п и обычно задаваемых значений надежности.

Заметим, что при п ³ 30 распределение Стьюдента практиче­ски не отличается от нормированного нормального распределения

Это связано с тем, что

Задание 8-10.  Признак X распределен в генеральной совокуп­ности нормально. Найти доверительный интервал для  с надеж­ностью γ = 0,99, если п = 20,  = 6,34, s = 0,40.

Решение.

Для  γ = 0,99 и п = 20 находим по таблице приложения, что  t_γ = 2,861.

Следовательно, δ = = »0,26.

 Концы довери­тельного интервала  6,34 - 0,26 = 6,08 и 6,34 + 0,26 = 6,60.

Ответ.  Доверительный интервал (6,08; 6,60)  покрывает с надежностью 0,99.

4.4. Доверительный   интервал    для     среднего    квадратического отклонения.

Доверительный интервал для сред­него квадратического отклонения σ  с надежность. γ имеет вид:

(s-sq; s + sq), при q <1 и (0; s + sq), при q >1,  точность оценки δ = sq.

Параметр s – исправленное среднее квадратичное отклонение.

Параметр q, зависящий от значений γ и n, устанавливается из специальной таблицы значений q=q (γ;n для различных значений п и обычно задаваемых значений надежности у.

Задание 8-11.  

1. Признак X распределен в генеральной совокуп­ности нормально. Найти доверительный интервал для σ_r  с надежно­стью γ = 0,95, если п = 20, s = 0,40.

Решение. Для γ = 0,95 и п = 20 находим в таблице прило­жения  q = 0,37 < 1

sq = 0,40 • 0,37 » 0,15.

Концы довери­тельного   интервала   0,40 - 0,35 = 0,25   и   0,40 + 0,15 = 0,55.

Ответ. Доверительный интервал (0,25; 0,55) покрывает σ_r  с надеж­ностью 0,95.

2. Дано: Объем выборки n=20,  X _cред =340,  "исправленное" среднее квадратическое отклонение  s= 20.

Определить:

1) Доверительный интервал для математического ожидания а с надежностью γ =0,95;

2) Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с той же надежностью.

При решении задачи исходить из предположения, что данные взяты из нормальной генеральной совокупности.

Решение. 

 1} Согласно условиям задачи   =  X _cред = 340,  s = 20,  γ = 0.95,   п = 20.

Пользуясь распределением Стьюдента, для надежности γ = 0,95 и п = 20 находим в таблице приложения  t_γ = 2,093. Следовательно,

δ = =»9,4

Концы доверительного интервала 340 - 9,4 =330,6 и 340 + 9,4 = 349,4.

Ответ.  Доверительный интервал (330,6; 349,4) покрывает а с надежностью 0,95.

2) Для надежности γ = 0,95 и п - 20 находим в таблице при­ложения   q = 0,37 <1

sq = 20 · 0,37 = 7,4.

Концы довери­тельного интервала 20 - 7,4 =12,6 и 20 4+ 7,4 = 27,4.

Ответ 12,6 < а < 27,4,

3. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п = 10 найдено "исправлен­ное" среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти довери­тельный интервал для σ  с надежностью 0,999.

Решение. Для надежности γ = 0,999 и п = 10 по таблице приложения находим q = 1,80.>1. Доверительный равен  0 < σ < 0,16+ 0,16 ·1,80 или 0 < σ < 0,448.