4.5. Оценка истинного значения измеряемой величины.

Производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение которой  а неизвестно, которое надо найти или оценить с достаточной точностью.  

Результаты отдельных измерений есть случай­ные величины Х₁, Х₂, ..., Х_п.

Эти величины независимы - измерения независимы. Имеют одно и то же математическое ожидание а (истин­ное значение измеряемой величины). У них одинаковые дисперсии D(X)=σ² (из­мерения равноточные) и также распределены нормально, что подтверждается опытом.

Таким образом, все предположения, кото­рые были сделаны при выводе доверительных интервалов выполняются поэтому  можно использовать полученные в них предложения.

Так как обычно σ неизвестно, следует правилом нахождения доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении. пользоваться  (пункт 4.3).

Задание 8-12.   По данным 9 независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результа­тов отдельных измерений  = 42,319 и "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 5,0. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью у = 0,99.

Истинное значение измеряемой величины равно ее математиче­скому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математиче­ского ожидания (при неизвестном σ) при помощи доверительного интервала

покрывающего а с заданной надежностью γ = 0,99.

Пользуясь таблицей приложения 4 по γ = 0,99 и п = 9, нахо­дим t_v = 3,36.

Найдем точность оценки:

Концы доверительного интервала  42,319 - 5,60 = 36,719 и  42,319 + 5,60 = 47,919.

Ответ. С надежностью y = 0.99 истинное значение измеренной величины а заключено в доверительном интервале 36,719 < а < < 47,919.

4.6. Оценка точности измерений.

В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с по­мощью среднего квадратического отклонения σ случайных ошибок измерений.

Для оценки σ  используют "исправленное" среднее квадратическое отклонение s.

Поскольку обычно результаты изме­рений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений),  то оценка тонности измерений можно произвести согласно утверждениям, рассмотренных в пункте 4.4 

Задание 8-13. По 16 независимым равноточным измерениям най­дено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 0,4. Найти точность измерений с надежностью γ= 0,99.

Как отмечено выше, точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением σ случайных ошибок изме­рений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного ин­тервала  вида:

(s – sq; s + sq),

Он покрывает  σ с заданной надежностью γ = 0,99 (п. 4.4).

По таблице приложения  по γ = 0,99 и п = 16 найдем q = 0,70.

Доверительный интервал

Ответ      

Примерная тематика практических занятий.

1. Обработка числовых данных методом средних величин.

2. Обработка числовых данных  методом интервалов

3. Вычисление математического ожидания нормального распределения; интервальное оценивание вероятности события.

Контрольные вопросы

1.       Определение математической статистики как науки и как раздела математики

2.       Виды статистических данных и статистических совокупностей.

3.       Привести примеры детерминированных и случайных величин. Может ли величина     одновременно, отвечать обоим указанным  условиям одновременно?

4.       Привести примеры статистических признаков.

5.       Способы формирования выборки

6.       Частота наступления событий

7.       Числовые характеристики выборки

8.       Генеральные и выборочные показатели.

9.       Понятии дисперсии и ее виды.

10.   Точечные  и интервальные оценки

11.   Понятие доверительного интервала.

12.   Понятие оценки истинного значения измеряемой величины

Требования к знаниям умениям и навыкам

Студент должен иметь представление  о выборке. Иметь понятие о  дискретных  и интервальных  вариационных рядах. Уметь находить основные числовые характеристики выборки, строить полигоны и гистограммы. Иметь представление о точечной оценке для генеральной средней (математического ожидания), дисперсии и среднеквадратического отклонения. Иметь представление об интервальной оценке математического ожидания при известной дисперсии