Тройной тест.

Он состоит из серии одинаковых опытов, когда испытуемому предлагается одновременно три стимула (право на выбор одного варианта из трех). Например, в трех одинаковых стаканах некоторая жидкость. В двух абсолютно одинаковая жидкость, а в одном  наблюдается наличие или отсутствие изучаемого параметра. Требуется установить стакан с изучаемым параметром или стакан с его отсутствием.

Моделируется умение испытуемого устанавливать наличие или отсутствие изучаемого признака.

При этом усматривается следующие допущения: в каждом опыте ответ случаен; существует вероятность правильного и неправильного ответа; результаты отдельных испытаний не зависимы.

Математической моделью такого наблюдения есть теорема Бернулли.

Парные наблюдения.

Сравниваются два способа действий по результатам. Например, сравнивается две методики обработки показателей; сравниваются показатели двух спортсменов;  испытываются два механизма о одинаковых условиях. Проводится несколько серий наблюдений по одному или нескольким показателям Число таких серий должно быть достаточно велико. При обработке результатов эксперимента можно ввести такие показатели математической статистики как среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение, дисперсию и др.

3. Моделирование случайных величин

За основу моделирования случайных величин возьмем метод Монте-Карло[1].

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псев­дослучайные числа[2]; это привело к широкому внедре­нию метода во многие области науки и техники (статисти­ческая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.).

Метод Монте-Карло используют для вычис­ления интегралов, для реше­ния систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования сложных систем и т.д.

Сущность метода Монте-Карло состоит в том, что, если: требуется найти значение a некоторой изу­чаемой величины, то для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а, т.е.: M(x)=a.

Практически же производят n  испы­таний, в результате которых получают n возможных зна­чений X; вычисляют их среднее арифметическое

В качестве оценки искомого числа а: (приближенного значе­ния)  принимают  или:

а » а* =.

Метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, поэтому его называют еще и методом статистических испытаний.

Теория этого метода указы­вает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х и как найти ее возможные значения.

В част­ности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания a его оценкой а*.

Моделирование случайной ве­личины называется отыскание возможных значений случайной величины X. Этот процесс можно называть разыгрыванием случайной ве­личины

В данном разделе будут рассмотрены некоторые способы разыгрывания случайных величин с указанием возможности оценивания допускаемой при этом ошибки.

3.1. Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины X было произведено n  независимых испытаний (разыграно n возможных значений X) и по ним была найдена выборочная средняя , ко­торая принята в качестве искомой оценки: а* = .

Очевидно, что при повторном опыте будут получены дру­гие возможные значения X, следовательно, другая сред­няя, а значит, и другая оценка а*.

Их всего этого следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. В этом разделе ограничимся отысканием лишь верхней границы δ допускаемой ошибки с заданной ве­роятностью (надежностью) γ:

Верхняя граница ошибки δ -точность оценки. математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных ин­тервалов, о которой уже шла речь в предыдущих разделах. Рас­смотрим следующие случаи:

Случай 1.Случайная величина X распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение s известно. В этом случае верхняя граница ошибки c надежностью γ  вычисляется по формуле:

,  где:

п - число испытаний (разыгранных значений X);

t - значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф (t) = γ / 2,

s  - известное среднее квадратическое откло­нение X.

Задание 9-4. С надежностью γ = 0,95 найти верхнюю границу ошибки δ, если для оценки математического ожидания нормальной величины X с известным средним квадратическим отклонением, равным 0,5 было разыграно 100 возможных значений Х.

Решение. По условию, n=100, a = 0,5, Ф(t) = 0,95/2 = 0,475. По таблице функции Лапласа находим t = 1,96. Искомая верхняя граница ошибки б = 1,96-0,5/ = 0.098.

Случай 2. Случайная величина X распределена нормально, причем ее среднее квадрати­ческое отклонение s -  неизвестно,  В этом случае верхняя граница ошибки c надежностью γ  вычисляется по формуле:

, где:

п - число испытании;

s - исправленное среднее квад­ратическое отклонение,

t_γ - находят по таблице ее значений

Задание 9-5. С надежностью γ = 0,95 найти верхнюю границу ошибки δ, если для оценки математического ожидания нормальной величины X было разыграно 100 ее возможных значений и по ним найдено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 0,5.

Решение. По условию, n=100, s = 0,5. Используя таблицу значений функции t_γ,  по у =0,95, n=100 находим t_γ = 1,984. Искомая верхняя граница ошибки 6 = 1,984-0,5/  = 0,099.

            Случай 3. Случайная величина X  распределена по закону, отличному от нормального распределения. Этот случай оставим без рассмотрения из-за некоторой его сложности.