3.2. Случайные числа

Ранее было указано, что метод Монте-Карло основан на применении случайных чисел; дадим опреде­ление этих чисел. Обозначим через R случайную непрерывную величину, распределенную равномерно в интер­вале (0, 1).

Случайными числами называют возможные значения r случайной непрерывной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1).

В действительности пользуются не равномерно рас­пределенной случайной величиной R, возможные значе­ния которой, вообще говоря, имеют бесконечное число десятичных знаков, а случайной квазиравномерной величиной R*, возможные значения которой имеют ко­нечное число знаков.

В результате замены R на R* разыгрываемая величина имеет не точно, а прибли­женно заданное распределение. Существует заранее вычисленные значения случайных чисел, представленных в виде соответствующих таблиц случайных чисел.

3.3. Разыгрывание случайной дискретной величины

Пусть требуется разыграть случайную дискретную величину X, именно  получить последовательность ее возможных значений х_i зная закон ее рас­пределения X. (i =- 1, 2, ..., п),

 Пусть:

~     R - непрерывная случайная величина, распределено равномерно в интервале (0, 1),

~     r_j (j = 1,2, . . .) - возможные значения R, т. е. случайные числа.

Разобьем интервал 0 < R < 1 на оси Оr точками с координатами

p₁          p₁+p₂               p₁+p₂+p₃         …        p₁+p₂+p₃+p_n-1

При этом получится  n частичных интервалов длиной , причем: длины последовательных интервалов равны:

= p₁                 = (p₁+p₂)- p₁= p₂                     (p₁+p₂+p₃)-( p₁+p₂ )= p_{3        …}        =p_n  

Отсюда можно установить, что длина каждого частичного интервала с индексом i равна вероятности с тем же индексом

                                                                                          (*)

Теорема. Если каждому случайному числу r_j (0 < R < 1), которое попало в интервал   ставить в соответствие возможное значение x_i, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения:

Правило. Для того чтобы разыграть случайную дискретную величину, заданную законом распределения надо:

1. Разбить интервал (0, 1) оси Or на n частичных интервалов:

= (0;   p₁)         = (p₁;   p₁+p₂)       (p₁+p₂;    p₁+p₂+p₃)  _…      = (p₁+p₂+p₃+p_n; 1)

2. Выбрать случайное число r_j, например, из таблицы случайных чисел.

Если r_j попало в частичный интервал , то разыг­рываемая случайная дискретная величина приняла воз­можное значение х_i.

Задание 9-6. Разыграть 8 значений случайной дискретной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

X       3         11         24

р     0,25    0,16     0,59

Решение.

1. Разобьем интервал (0,1) оси Or точками с коор­динатами:

 0,25;     0,25 + 0,16 = 0,41 на 3 частичных интервала:

= (0;  0,25)              = (0,25;   0,41)                   (0,41;  1)

Обратите внимание на то, что последнее число 0,59 не рассматривается.

2. Выпишем из таблицы приложения  восемь случайных чисел, например, возьмем из нее числа, расположенные в первом столбике этой таблицы. Это случайные числа:

0,10;      0,37;    0,08;    0,99;    0,12;    0,66;    0,31;    0,85.

3. Установим принадлежность выбранных случайных чисел построенным промежуткам

Имеем:

0,10Î= (0;  0,25), что соответствует числу х=3

0,37Î= (0,25;   0,41) что соответствует числу х=11

0,08Î= (0;  0,25), что соответствует числу х=3

0,99Π(0,41;  1), что соответствует числу х=24

Продолжая такие сравнения получим остальные числа 3; 24;11;24.

Ответ: Разыгранные возможные значения X таковы: 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24.

Замечание. Доказано, что разыгрывание собы­тий можно свести к разыгрыванию случайной дискретной величины.

3.4.  Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероят­ностью р и, следовательно, не появляется с вероятностью q= l-p.

Введем в рассмотрение случайную дискретную вели­чину X с двумя возможными значениями. Для определен­ности примем:  х₁=1, х₂ = 0 и р₁ = р, р₂ = q.

Условимся считать, что если в испытании величина X приняла возможное значение х₁=1, то событие А наступило; если х₂ = 0, то событие   А не  наступило,   но появилось противоположное  событие .

Таким образом, разыгрывание противоположных собы­тий А и сведено к разыгрыванию дискретной случай­ной величины X с заданным законом распределения, зададим его таблицей.

Для разыгрывания X надо:

1. Интервал (0, 1) разбить точкой р на два частичных интервала: = (0, р) и = (р, 1).

2. Выбирать случайное число г_j. Если г_j попадает в интервал , то X = х₁ =1 - наступило событие А; если г_j, попадает в интервал  то X = х₂ - О (событие А не наступило).

Правило. Чтобы разыграть испытания, в каж­дом из которых вероятность появления события равна р и, следовательно, вероятность наступления противополож­ного события А равна 1 - р, надо выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число г_j. (j=1, 2, .. .); если г_j. < р, то событие А наступило; если г_j. > р, то появилось противоположное событие А.

Задание 9-7. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р = 0,35.

Решение. Выберем из таблицы 9 случайных чисел, например: 0,10; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12; 0,06. Считая, что при г_j < 0,35 событие А появилось, а при г_{j ³} 0,35 наступило противо­положное событие А, получим искомую последовательность событий: А, , А, , А, А.