3.5.  Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы n(n > 2) несов­местных событий А₁, A₂, . . ., А_п, вероятности которых Р₁ Р₂… Р_п известны, можно свести к разыгрыванию случайной дискретной величины X со следующим законом распределения, представленным таблицей (для определенности примем х₁= 1, x₂ = 2, .... х_n = п):

Действительно, достаточно считать, что если в испы­тании величина X приняла значение x_i = i (i =-1,2, . .., п), то наступило событие А,. Справедливость этого утвержде­ния следует из того, что число п возможных значений X равно числу событий полной группы и вероятности воз­можных значений x_i и соответствующих им событий A_i - одинаковы:

Р (X = x_i) = Р (A_i) = pt.

Таким образом, появ­ление в испытании события А равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина X приняла возможное значение x_i.

Для того чтобы разыграть испытания, в каж­дом из которых наступает одно из событий A₁ ; A₂;, ...; А_n  полной группы, вероятности которых Р₁ Р₂… Р_п из­вестны, достаточно разыграть случайную дискретную величину X по ее закону распреде­ления. При этом считать, что если в испытании величина X приняла зна­чение х_i = i, то наступило событие A_ш.

Задание 9-8. События A₁; A₂; А₃; A₄  образуют полную группу. Вероятности их наступления соответственно равны 0,19; 0,21; 0.34; 0,26. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.

Решение. Запишем закон распределения заданной случайной дискретной величины X:

X        1 (A₁)        2 (A₂)          3 (А₃ )          4(A₄ )

р           0,19         0,21             0,34             0,26

Разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала:

= (0;  0,19)              = (0,19; 0,40)             (0,40; 0,74),                =(0,74; 1).

Выберем из таблицы случайных чисел 5 чисел. Например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Первое случайное число r₁ = 0,66 принадлежит интервалу , то Х = 3, следовательно, наступило собы­тие А₃. Аналогично найдутся  остальные события: A₂; A₄ ; А₃ ; А₃ .Причем событие A₁ в найденном распределении не значится.

Ответ. Искомая последовательность событий такова: А₃ ; A₂; A₄ ;А₃ ; А₃ .

3.6. Разыгрывание случайной непрерывной величины. Метод обратных функций

Пусть требуется разыграть случайную непрерывную величину X, т.е. получить последовательность ее возможных значений x_i, зная функцию распределения F (х).

Теорема. Если г_i -- случайное число, то возможное зна­чение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины X с заданной функцией распределения F (х), соответствующее  г_i -, является корнем уравнения:   F(x_i)= г_i

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение x_i непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число г_i, приравнять его функции распределения и решить отно­сительно x_i  полученное уравнение

F(x_i)= г_i

Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Задание 9-9. Разыграть 3 возможных значения случайной непрерывной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение. Напишем функцию распределения величины X, рас­пределенной равномерно в интервале (а, b):

F(x) = (х-b) / (b-а).

По условию, а = 2, b=10, следовательно,

F(x) = (х-10) / (10-2) или F(x) = (х-10) / 8

Используя правило, напишем уравнение

(х_i-10) / 8= г_i, решив которое получим  х_i=8r_i+2

Выберем 3 случайных числа, например, r₁ = 0,11, r₂ = 0,17, r₃ = 0,66.

Подставим эти числа в полученное решение уравнения х_i=8r_i+2, получим:

x₁=8·0,11+2=2,88;       x₂=8·0,17+2=1,36;     x₃=8·0,66+2=7,28.

Ответ.  x₁=2,88; x₂=1,36; x₃=7,28.

Задание 9-10.

1. Разыграть 6  значений  случайной дискретной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

X        2        3,2            JO
          р      0,18      0,24       0,58

Указание.   Для  определенности  принять слу­чайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53.     Ответ. 10;  10;  10; 2; 3; 22;  10.

2. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,52.  Указание. Для определенности принять слу­чайные числа  0,28; _0,53; 0,91; 0,89.

Ответ. А,   , 

3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: P(A₁) = 0,20, Р(А₂) = 0,32, Р(А₃) = 0,48. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых появляется одно из заданных событий. Указание. Для определенности принять, что слу­чайные числа: 0,77; 0,19; 0,2I;;0,51; 0,99; 0,33.  Ответ. А₃, А₁, А₂, А₂, А₃, А₂.

Практические занятия

1.      Построение  информационных моделей отдельных видов деятельности людей (выполнение бросков спортивных снарядов, работа за пультом управления, вождение машины, записи в тетради и др.)

2.      Описание несколькими моделями одного и того действия или явления.

3.      Построение информационных моделей выполнения арифметических действий.

4.      Моделирование случайных величин.

5.      Моделирование случайной точки, равномерно распределённой в прямоугольнике;

6.      Моделирование сложных испытаний и их результатов.

Контрольные вопросы

1.  Приведите различные трактовки понятия "Модель"

2.  Может ли быть моделью действия одного человека для другого?

3.  Являются ли моделями

~    характеристика учащегося

~    схема компьютера

~    описание действия человека при выполнении некоторых действий

~    учебное кино

~    наглядные пособия, применяемые учителем на уроке?

2. Приведите пример структурной  модели.

3. Что можете сказать о воображаемых моделях?

4. Назовите особенности спортивного моделирования

Требования к знаниям, умениям, навыкам

Студенты должны понимать роль модели в физическом воспитании. Уметь на интуитивном уровне моделировать ситуации, возникающие под воздействием 1-2 факторов. Понимать роль моделирования в системе подготовки спортсмена. Уметь моделировать стандартные ситуации быту, спорте, при работе с детьми и др..