Тема 1.  Введение

План:

               1. Предмет теории вероятностей

               2. Краткие исторические сведения

Теоретические сведения

1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей  - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей случайных массовых явлений. однородных

Методы, открытые в теории вероятностей, получили свое продолжение в большинстве современных наук и отраслях деятельности человека.

Например:

1. Дождь идет в течении трех дней. Можно ли быть уверенным, что он прекратится на четвертые сутки.

2. После 10 испытаний некоторого прибора можно ли быть уверенным, что он не сломается на следующем испытании?

3. Теория  вероятностей может указать  на характер ошибок при статистических расчетах, указать ее пределы.

4. Производится   стрельба из орудия, установленного под задан­ным углом к горизонту. Пользуясь методами баллистики можно   найти  теоретическую  траекторию снаряда. Эта   траектория   вполне определяется    условиями стрельбы: начальной ско­ростью снаряда, углом бросания  и баллисти­ческим     коэффициентом. Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько откло­няется от теоретической траектории за счет совокупного таких факторов как: ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность струк­туры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метео­рологические условия и т. д.

Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях, мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок траекторий, образующий называемое рассеивание снарядов.

5. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналити­ческих весах; результаты повторных взвешиваний несколько отли­чаются друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких как положение тела на чашке весов, случайные вибрации аппа­ратуры, ошибки отсчета показаний прибора и т. д.

6.   Самолет   совершает   полет   на   заданной   высоте; теоретически он   летит   горизонтально,   равномерно   и   прямолинейно.   Фактически полет  сопровождается  отклонениями  центра массы самолета от тео­ретической траектории и колебаниями самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбу­лентностью атмосферы; от раза к разу они не повторяются.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксиро­ваны условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повто­рении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому законо­мерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, "модель", и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определен­ным образом. Из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные факторы по отношению к целям эксперимента. Остальными, второстепенными факторами для данного случая,  просто пренебрегают. Причем факт установления важности того или иного фактора весьма сложная и не однозначная.

Такая схема изучения явлений постоянно применяется в физике, механике, технике. При пользовании этой схемой для решения любой задачи, прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи они влияют; затем применяется тот или иной математический аппарат (например, составляются и интегрируются дифференциальные уравне­ния, описывающие явление); таким образом выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все боль­ше; явление исследуется подробнее; научный прогноз становится точнее.

Однако для решения ряда вопросов описанная схема - классиче­ская схема так называемых "точных наук" - оказывается плохо при­способленной.

Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы. Это задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов ис­следования себя не оправ­дывает.

Например, движение планет Солнечной системы, прогноз погоды, полет самолета, пружок спортсмена в длину или его бег, встреча людей по пути на работу и многое другое.

Рассмотрим типичный пример. Некоторое техническое устройство, например система автоматического управления, решает определенную задачу в условиях, когда на систему непрерывно воздействуют слу­чайные помехи. Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторой ошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие следует принять меры для того, чтобы практически исключить их возможность?

Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать при­роду и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы па вид этой реакции.

Все подобные задачи, число которых в физике и технике чрезвы­чайно велико, требуют изучения не только основных, главных зако­номерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличием второ­степенных факторов и придающих исходу опыта при заданных усло­виях элемент неопределенности

С чисто теоретической точки зрения те факторы, которые мы условно назвали "случайными", в принципе ничем не отличаются от других, которые мы выделили в качестве "основных". Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов. Однако практически такая попытка оди­наково подробно и тщательно проанализировать влияние решительно всех факторов, от которых зависит явление, привела бы только к тому, что решение задачи, в силу непомерной громоздкости и сложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело бы никакой познавательной ценности.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы одно­родных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свой­ственные именно данным случайным массовым явлениям.

Рассмотрим еще один пример. По некоторой мишени произво­дится один за другим ряд выстрелов; наблюдается распределение точек попадания на мишени. При ограниченном числе выстрелов точки попадания распределяются по мишени в полном беспорядке, без какой-либо пилимой закономерности. По мере увеличения числа выстрелов в расположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность; эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем больше выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они расположены гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону (так называемый "нормаль­ный закон" или "закон Гаусса", которому будет уделено большое внимание в данном курсе).

Подобные специфические, так называемые "статистические", за­кономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индиви­дуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно пога­шаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явле­ний оказывается практически уже не случайным.

Именно эта много­кратно подтвержденная опытом устойчивость случайных массовых явлений и служит базой для применения вероятностных (статистиче­ских) методов исследования.

Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования случайных массовых явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный ре­зультат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из ко­торых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участ­вует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются прису­щие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точ­ностью можно осуществлять научный прогноз.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явле­ний. Изучение этих' законов позволяет не только осуществлять науч­ный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, су­жать ее влияние на практику.

Вероятностный, или статистический, метод в науке не про­тивопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случай­ности.

Обширное поле применения находит теория вероятностей в раз­нообразных областях военной техники: теория стрельбы и бомбоме­тания, теория боеприпасов, теория прицелов и приборов управления огнем, аэронавигация, тактика и множество других разделов военной науки широко пользуются методами теории вероятностей и ее мате­матическим аппаратом.

Математические законы теории вероятностей - отражение реаль­ных статистических законов, объективно существующих в случайных массовых явлениях природы. К изучению этих явлений теория ве­роятностей применяет математический метод и  по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как другие математические науки.

Современная наука теория вероятностей изучается  совместно с другой наукой   "математической статистикой", которая основана на закономерностях открытых в теории вероятностей. Математическая статистика наука о сборе и обработке числовых данных об объектах любой природы.

При обработке статистических данных возможны ошибки. Каковы должны быть допустимые пределы таких ошибок, что бы ими можно было пренебречь.

При изучении многих явлений приходится строить модели. Как установить надежность исследований на моделях и как соотносятся  такие результаты оригиналам.

На все эти вопросы в той или иной вероятностью отвечает наука "теория вероятностей и математическая статистика"

2. Краткие исторические сведения

Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики.

Начало систематического исследования задач, относящихся к случайным массовым явлениям, и появление соответствующего математи­ческого аппарата относятся к 17 веку.

В начале 17 века  физик Галилей пытался подвергнуть научному исследованию ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности

Необ­ходимость создания математического аппарата, специально приспособ­ленного для анализа случайных явлений, вытекала и из потребностей обработки   и   обобщения   обширного   статистического  материала   во всех областях пауки.

Теория вероятностей как математическая наука сформи­ровалась, в основном, не на материале указанных выше практических задач: эти задачи слишком сложны; в них законы, управляющие слу­чайными явлениями, проступают недостаточно отчетливо и затушеваны многими осложняющими факторами.

Необходимо было сначала изу­чить закономерности случайных явлений на более простом материале.

Таким материалом исторически оказались "азартные игры". Эти игры с незапамятных времен создавались рядом поколе­ний именно так, чтобы в них исход опыта был независим, был чисто случайным. Самое слово "азарт" (фр. "le hazard") означает "случай".

Схемы азартных игр дают исключительные по простоте и прозрачности модели слу­чайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме наблю­дать и изучать управляющие ими специфические законы; а возмож­ность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальную проверку этих законов в условиях действитель­ной массовости явлений.

Вплоть до настоящего времени примеры из области азартных игр и аналогичные им задачи на схему "ящик – шар" ши­роко употребляются при изучении теории вероятностей как упро­щенные модели случайных явлений, иллюстрирующие в наиболее простом и наглядном виде основные законы и правила теории ве­роятностей.

Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине 17 века и связано с исследованиями Паскаля (1623-16G2). Ферма (1601 - 1665) и Гюйгенса (1629-1695) в об­ласти теории азартных игр. В их работах постепенно сформирова­лись такие важные понятия, как вероятность и математическое ожи­дание; были установлены их основные свойства и приемы их вычи­сления. Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли, прежде всего, в задачах страхования. Уже с конца XVI! века страхование стало производиться на научной математи­ческой основе. С тех пор теория вероятностей находит все более широкое применение в различных областях.

Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероят­ностей - так называемого закона больших чисел.

Теорема Якова Бернулли - простейшая форма закона больших чисел - устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; при доста­точно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью.

Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667-1754). Этот ученый впервые ввел в рас­смотрение и для простейшего случая обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый нормальный закон (иначе - закон Гаусса).

Нормальный закон, как мы увидим далее, играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название "центральной предельной теоремы".

Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику Лапласу (1749-1827). Он впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы (теоремы Моавра - Лапласа) и развил ряд замечательных приложе­ний теории вероятностей к вопросам практики, в частности к ана­лизу ошибок наблюдений и измерений.

Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777-1855), который дал еще более общее обо­снование нормальному закону и разработал метод обработки экспе­риментальных данных, известный под названием "метода наименьших квадратов".

Следует также отметить .работы Пуассона (1781 -1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Для всего 18 и начала 19 века отмечается бурное развитие теории вероятностей. Теория вероят­ностей становится "модной" наукой. Ее пытаются применить в таких областях, где это сделать практически. Во множестве появились работы, посвященные вопросам судопроизвод­ства, истории, политики, даже богословия, в которых применялся аппарат теории вероятностей.

Для всех этих псевдонаучных исследо­ваний характерен чрезвычайно упрощенный, механистический подход к рассматриваемым в них общественным явлениям. Например, в  основу рас­суждения полагаются некоторые произвольно заданные вероятности, так для судопроизводства бралась некоторая склонность "каждого человека к правде или лжи", которая оценивается некоторой постоян­ной, одинаковой для всех людей вероятностью. Далее обществен­ная проблема должна бы решаться как некоторая  арифметическая задача.

Естест­венно, что все подобные попытки были обречены на неудачу и не могли сыграть положительной роли в развитии науки. Напротив, их косвенным результатом оказалось то, что примерно в 20-х - 30-х годах 19 века в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом. На теорию вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную, второсорт­ную, род математического развлечения, вряд ли достойный серьез­ного изучения.

Замечательно, что именно в это время в России создается та знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и ма­тематическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Со времени появления этой школы развитие тео­рии вероятностей уже теснейшим образом связано с работами рус­ских, а в дальнейшем - советских ученых.

Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать. Бундовского В.Я (1804-1889) - автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной рус­ской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных ис­следований в области статистики и демографии.

Великий русский математик Чебышев П. Л. (1821 -1894) имеющий обширные математические труды, заметное место в которых занимают исследования  по теории вероятностей. П. Л. Чебышеву принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, Чебышев П.Л. ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов.

 Марков А.А. (1856-1922), существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшей заслугой Маркова А.А. явилось то, что он за­ложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей - теории случайных, или "стохастических", процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей, современной теории ве­роятностей.                                                

С именем А. М. Ляпунов (1857-1918), связано первое доказательство центральной пре­дельной теоремы при чрезвычайно общих условиях. Для доказатель­ства своей теоремы Ляпунов А.М. разработал специальный метод характеристических функций, широко применяемый в современной теории вероятностей.

Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная ма­тематическая строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена с задворков науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук. Условия применения ее ме­тодов были строго определены, а самые методы доведены до высокой степени совершенства.

Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практи­ческих применений. За последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, тес­нейшим образом связанную с потребностями практики и техники. Советская школа теории вероятностей, унаследовав традиции Петер­бургской математической школы, занимает в мировой науке веду­щее место.

Здесь мы назовем только некоторых крупнейших советских уче­ных, труды которых сыграли решающую роль в развитии современ­ной теории вероятностей и ее практических приложений.

Бернштейн С. Н. разработал первую законченную аксиоматику теории вероятностей, а также существенно расширил область при­менения предельных теорем.

Хинчин А.Я. (1894 -1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области так называемых случайных стационарных процессов.

Колмогорову А. Н. дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с одним из важнейших разделов современной математики - метрической теорией функций. Особое значение имеют работы. Колмогорова А. Н в области теории случайных функций (стохастических процессов), которые в настоящее время являются основой всех исследований в данной области. Работы Колмогорова А. Н., относящиеся к оценке эффективности легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, пе­реросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий.

Романовский В. И. (1879 -1954) и Смирнов Н. В. известны своими работами в области математической статистики.

Слуц­кий Е. Е. (1880 - 1948) - в теории случайных процессов.

Гнеденко Б. В.- в области теории массового обслуживания,.

Дынкин Е. Б - в об­ласти случайных марковских процессов

Пугачев В.С. - в области случайных процессов в применении к задачам автоматического упра­вления.

Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с настоятельными требова­ниями практики. Преимущественным вниманием пользуются, как и у нас, вопросы, относящиеся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат, например, Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу. Важные работы по теории вероятностей и математической статистике принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.

За последние годы мы стали свидетелями рождения новых и свое­образных методов прикладной теории вероятностей, появление кото­рых связано со спецификой исследуемых технических проблем. Речь идет, в частности, о таких дисциплинах, как "теория информации" и "теория массового обслуживания". Возникшие из непосредственных потребностей практики, эти разделы теории вероятностей приобрета­ют общее теоретическое значение, а круг их приложений постоянно увеличивается.

Требования к знаниям умениям и навыкам.

Студенты должны  иметь представление  о роли, месте  теории вероятностей  и математической статистики. в процессе освоения профессиональной образовательной программы по специальности. Иметь представление  о содержании  дисциплины.  и об основных  задачах и  областях   применения   теории вероятностей  и математической статистики. Понимать историческую ценность становления теории вероятности как науки.