Задание 3. Выписать все подмножества трехэлементного множества S={a,b,c}

Решение. a, b, c, ab, ac, bc, abc, Æ. Всего  k=2³=8 подмножеств.

Задание 4. Запишите несколько подмножеств для множеств:

D= {10, 11, 12 …98, 99} – множество натуральных двузначных чисел,

F= {10, 20… 90} - множество чисел, оканчивающихся нулем.

Установите число подмножеств каждого множества

Решение.  Всего 90 двузначных чисел, значит k₁=2⁹⁰ количество возможных подмножеств. Чисел, оканчивающихся нулем – 9 штук, значит k₂=2⁹=512 возможных подмножеств

Классификация множеств.

Основная  характеристика множества есть его количество  его элементов или  его  мощность..

Количество элементов в некотором множестве называется его численностью. Запись вида n(D)=12 обозначает, что число элементов в этом множестве D равно12.

Множества, имеющие одинаковую мощность, называются равномощными или эквивалентными множествами                

Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множество называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.  В противном случае множество называется несчетным.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным множеством, а множество, содержащее бесконечное число элементов – бесконечным множеством.

Множества называется  конечным, если  элементы их можно пересчитать.

Множество называется бесконечным, если  число их элементов нельзя пересчитать или нельзя, по крайней мере, указать правило, которое позволяет теоретически установить число их элементов.

Проблема установления конечности или бесконечности множества, на первый взгляд кажется очевидной, но с точки теории множеств  очень сложная.

Рассмотрим несколько примеров.

1.    Число песчинок в стакане очень большое, но, тем не менее, их можно пересчитать, значит, их конечное число.

2.    Множество N - натуральные числа бесконечно. В этом можно легко убедится, если понять, что к любому, пусть даже самому большому натуральному числу всегда можно прибавить,  по крайней мере, число 1. 

Бесконечными являются и другие основные числовые множества:

Q -рациональные числа    Z - целые числа R – действительные числа

Правомочен вопрос о сравнении числа элементов в этих множествах. А, именно, какое из основных числовых множеств "более бесконечное", чем другие. Ответы на такие вопросы представляют чисто теоретический аспект и далеко выходят за рамки данного предмета разговора.

Задание 5. Выписать все подмножества трехэлементного множества S={a,b,c}

Решение. a, b, c, ab, ac, bc, abc, Æ. Всего  k=2³=8 подмножеств.

Задание 6  Запишите несколько подмножеств для множеств:

D= {10, 11, 12 …98, 99} – множество натуральных двузначных чисел,

F= {10, 20… 90} - множество чисел, оканчивающихся нулем.

Установите число подмножеств для каждого множества

Решение.  Всего 90 двузначных чисел, значит k₁=2⁹⁰ количество возможных подмножеств. Чисел, оканчивающихся нулем – 9 штук, значит k₂=2⁹=512 возможных подмножеств

2. Основные операции над множествами 

На множестве множеств устанавливается несколько операций. Результатом выполнения той или иной операции над множествами является множество.

Одна операция  – дополнение, была рассмотрена выше. В связи с тем, что эта операция задана на одном множестве, она относится к так называемым, унарным операциям.

Определение бинарных операций

Рассмотрим операции, которые заданы для двух различных множеств. Множество таких операций относятся к бинарным операциям.

Пусть даны два множества А и В и множество С, которое  является результатом операций над ними (бинарная операция).

1.      Пересечение множеств состоит из элементов принадлежащих каждому из данных множеств. Обозначается:  А ÇВ = С. Эту операцию называют еще  умножением множеств.

        M=A∩B – пересечение множеств. В пересечение входят только те элементы, которые принадлежат каждому из данных  множеств, а именно являются общими элементами  для всех заданных множеств

2.      Объединение множеств состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств.  Обозначается: А ÈВ=С. Эту операцию еще называют сложением множеств

          K=AÈB – объединение множеств. В объединение входят элементы, которые принадлежат хотя бы  одному из данных  множеств

3.      Разность множеств состоит их элементов, принадлежащих первому (уменьшаемому) множеству A, но не принадлежащих второму  (вычитаемому) множеству B. Обозначается: A\B=С.   Эту операцию называют: А без В.

        G=X \ Y – вычитание множеств. В разность входят элементы уменьшаемого, без элементов, входящих в вычитаемое множество.

4.      Симметрическая  разность состоит из элементов, не принадлежащих пересечению заданных множеств. Симметрическая  разность состоит из элементов, принадлежащих только одному из данных множеств: либо А, либо В. Обозначается  АDВ=С

В связи с тем, что результат любой операции является множеством той же предметной области, то такой результат  может участвовать в качестве аргумента в последующей операции. Это позволяет строить сложные формулы,  описывающие множество через другие множества. Например, (АÇВ)È( АÇВÇС); (A\B) Ç(BÈD).

Две формулы F₁ и  F₂ называются эквивалентными (равносильными), если они описывают равные множества. Записывать это в виде равенства F₁= F₂.

Над множествами можно выполнять бинарные операции, такие как: