Тема 6. Случайные непрерывные величины (СНВ)

План:

1.    Понятие СНВ,  функция ее распределения

2.    Понятие плотности распределения, функция плотности НСВ

3.    Числовые характеристики НСВ.

4.    Законы распределения НСВ.

5.     Центральная предельная  теорема (теорема Ляпунова).

Теоретические сведения

1. Понятие СНВ,  функция ее распределения

Случайной непрерывной  величиной является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим воз­можных значений случайной величины.  

Случайная непрерывная величина, принимать все свои значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной дискретной величины может быть конечным или бесконечным.

При рассмотрении ДСВ рассматривалась функция F(x) распределения случайной дискретной величины. Аналогично можно вест речь и о функции распределения случайной непрерывной величины, для определенности ее так же обозначают как F(x).

Вместо термина "функция распределения" используют термин "интегральная функция", смысл которого будет понятен в дальнейшем. .

Свойства функции распределения случайной непрерывной величины аналогичны свойствам функция распределения случайной дискретной величины. Они были приведены при рассмотрении случайных дискретных величин.

Функция F(x) не убывающая, непрерывная, множество значений промежуток [0; 1].

Случайной непрерывной  величиной является величина, функция распределения F(x) которой, непрерывна на всей числовой оси.

Функция распределения СНВ F(x) есть кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.

Задание 6-3.

1. Случайная величина X задана плотностью распре­деления

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X. Согласно определениям 1 и 2 имеем:

 » 0,47.

Задание 6-4.  [5[1], C 126], примеры 1-2.

5.3.  Распределение случайных ошибок измерения. Пусть произ­водится измерение некоторой величины. Разность х — а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой вели­чины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникающие при округлении, и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически дей­ствующих факторов (например, неисправности приборов, завышаю­щих при каждом измерении показания приборов),

5.7. Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, "простое" оно или "сложное".

Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину - длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t то, следовательно, за время длитель­ностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F (t)=P(T<t) определяет вероятность отказа за время длитель­ностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность про­тивоположного события Т > t, равна

Тема 7.  Центральная предельная теорема, закон больших чисел

План:

                  1. Понятие центральной предельной теоремы (теорема Ляпунова)

                  2. Закон больших чисел, вероятность и частота (теоремы Чебышева и Бернулли)

1. Понятие центральной предельной теоремы.

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероят­ностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероят­ность при стрельбе по цели, в измерениях и т. п. В частности, оказывается, что закон распределения суммы достаточно большого чис­ла независимых случайных величин с произвольными законами распределения близок к нормальному распределению. Этот факт, называемый центральной предельной теоремой или  теоремой Ляпунова[1].

2.4.   Значение теоремы Чебышева для практики

Приведем примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифме­тическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным? Ответ на этот вопрос дает теорема Чебы­шева (ее частный случай).

Действительно, рассмотрим результаты каждого из­мерения как случайные величины

Тема 8. Элементы математической статистики

План:

1. Основные понятия  математической статистики

2. Выборочный метод

3. Числовые характеристики выборки

4. Интервальные оценки, доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Теоретические сведения

Наука "теория вероятностей" неотделима от другой математической науки, которая получила название "математическая статистика". Эти две науки дополняют друг друга во многих,  общих и частных вопросах

1. Основные понятия

1.1. Математическая статистика как наука.

2.2. Способы представления и обработки статистических данных

  Исследуемая статистическая совокупность в оптимальном варианте должно иметь от 30 до 200 данных. 

Большее число данных требует больших усилий при их обработке, меньшее их число не всегда дает достоверные результаты для анализа.

  При испытаниях (тестировании, соревнованиях) статические данные, как правило, поступают в произвольном, случайном порядке. Поэтому возникает необходимость эти данные каким-то образом систематизировать, обработать., получить некоторые результаты. которые можно было бы анализировать, сопоставлять и др.

В статистике разработано несколько способов представления и обработки данных. Все они направлены на  то, чтобы получить результаты обработки с требуемой точностью и достоверностью. Если число данных велико, то возникает вопрос, нельзя ли их число уменьшить, сжать. Причем это не должно повлиять на числ

Задание 8-2. Построить гистограмму непрерывного распределения выборки V=100 (n=100),  Х_min=5, X _max=40,  h=5

2.1. Генеральная и выборочная средние.

При обработке данных могут быть рассмотренными средние показатели, которые могут быть генеральными или выборочными средними значениями.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно количественного признака X.

Генеральной средней х_сред (или а) назы­вается среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x₁ x₂, ..., х_п признака генеральной совокуп­ности объема N различны, то