Задание 8-6. Выборочная совокупность задана таблицей рас­пределения. Найти выборочную дисперсию

Решение.

=1

Не уменьшая общности рассуждений, будем считать зна­чения x₁ x₂,…х_п признака различными.

Выборочную дисперсию, рассматриваемую как случай­ную величину, можно обозначать Ŝ²:

Теорема.  МО выборочной дисперсии равно   или

4. Интервальные оценки, доверительные интервалы для параметров

нормального распределения

4.1. Надежность, доверительные   интервалы.   

При оценивании многих параметров можно указать одно число, но на практике мы редко имеем дело с точными результатами, но всегда можно указать некоторый интервал, в который входит полученный результат либо при измерении или при обработке результатов измерений.

Точечной оценкой называется оценка, которая характеризуется одним число.

Например, число элементов в выборке, число проведенных испытаний и др.

Интервальной оценкой называется оценка, которая определяется двумя числами, которые являются  концами (границами) интервала. Причем, изменяя длину  такого интервала, можно добиться установленной заранее точности и надежности измерения или вычисления.

Точность оценки обозначается буквой δ,  (δ>0)  является оценкой неизвестного параметра R по его приближенному значению r, вернее, является отклонением  r от R не более, чем на δ.

При этом имеет место выражение:

4.3. Доверительный   интервал   для   МО    при    неизвестном   среднем квадратичном отклонении σ.

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и σ.

По данным выборки можно построить случайную величину T - ее возможные значения будем обозначать через t

4.5. Оценка истинного значения измеряемой величины.

Производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение которой  а неизвестно, которое надо найти или оценить с достаточной точностью.  

Результаты отдельных измерений есть случай­ные величины Х₁, Х₂, ..., Х_п.

Эти величины независимы - измерения независимы. Имеют одно и то же математическое ожидание а (истин­ное значение измеряемой величины). У них одинаковые дисперсии D(X)=σ² (из­мерения равноточные) и также распределены нормально, что подтверждается опытом.

Таким образом, все предположения, кото­рые были сделаны при выводе доверительных интервалов выполняются поэтому  можно использовать полученные в них предложения.

Так как обычно σ неизвестно, следует правилом нахождения доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении. пользоваться  (пункт 4.3).

Задание 8-12.   По данным 9 независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результа­тов отдельных измерений  = 42,319 и "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 5,0. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью у = 0,99.

Истинное значение измеряемой величины равно ее математиче­скому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математиче­ского ожидания (при неизвестном σ) при помощи доверительного интервала

ема 9.  Моделирование случайных величин

План:

1.      Понятие модели и моделирования.     

2.      Понятие о моделирования случайных величин

3.      Моделирование случайных величин

4.      Моделирование сложных испытаний и их результатов

Теоретически сведения

1. Понятие модели и моделирования.

В научном мире и практической деятельности человеку часто приходится иметь дело не с реальными объектами, а с некоторыми их заменителями или прототипами, которые в т

1. 2. Классификация моделей

  Классификация это логическая операция, связанная с распределением или разбиением однотипных объектов  на классы (группы, множества) в соответствии с выделенными признаками.

Основанием для классификации могут служить не только признаки, ни и, например, общие свойства объектов, присущие каждому классу разбиения, а также принадлежность к некоторой категории объектов (Группа спортсменов разбита по их спортивным разрядам)

Модели структурные и функциональные.

Структурные или статистические  модели – это модели, описывающие состояние объекта в некоторый выбранный момент времени. К ним относится чертеж, фотография, муляж.

Функциональные или динамическ

2. Понятие о моделирования случайных величин

2.1. Примеры моделирования физических экспериментов.

Чтобы  изучить особенности поведения некоторого индивидуума в той или иной ситуации, необходимо описать как такого индивидуума, так и ту среду, в которой он может находиться. В таких случаях говорят об идеальных моделях состояний.

Например, игра в шахматы. Трудно предсказать все возможные ходы противника, но при  подготовке к игре, квалифицированный шахматист найдет возможность просмотреть записи нескольких прежних партий своего будущего противника и  попробует оценить его манеру игры, усмотреть лучшие его комбинации и др. А, именно, построить модель игры своего противника, спрогнозировать ее, согласно построенной гипотезе.

Смоделировать также мо

2.2. Статистически модели.

Во многих случаях требуется на основе некоторых данных решить вопрос о справедливости некоторых суждений. Например, стрелок X лучше (хуже), чем стрелок y. Одна наука проще, чем другая. Один из летних месяцев дождливее, чем другой. Один сорт помидоров, лучше, чем другой. В любом случае мы оперируем случайными статистическими данными. Идеальных ситуаций не  бывает, как не бывает двух одинаковых ситуаций.  На основе случных данных невозможно сделать точные прогнозы, провести точную оценку, построить верную по всем параметрам гипотезу. 

Рассмотрение таких задач  в строгой математической постановке приводит к понятию статистической модели или гипотезы

Любая статистическая гипотеза должна быть построена на основе некоторых  законов, требований, свойств. Затем она должна быть проверена на право существования и на непротив

Тройной тест.

Он состоит из серии одинаковых опытов, когда испытуемому предлагается одновременно три стимула (право на выбор одного варианта из трех). Например, в трех одинаковых стаканах некоторая жидкость. В двух абсолютно одинаковая жидкость, а в одном  наблюдается наличие или отсутствие изучаемого параметра. Требуется установить стакан с изучаемым параметром или стакан с его отсутствием.

Моделируется умение испытуемого устанавливать наличие или отсутствие изучаемого признака.

При этом усматривается следующие допущения: в каждом опыте ответ случаен; существует вероятность правильного и неправильного ответа; результаты отдельных испытани

3.2. Случайные числа

Ранее было указано, что метод Монте-Карло основан на применении случайных чисел; дадим опреде­ление этих чисел. Обозначим через R случайную непрерывную величину, распределенную равномерно в интер­вале (0, 1).

Случайными числами называют возможные значения r случайной непрерывной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1).

В действительности пользуются не равномерно рас­пределенной случайной величиной R, возможные значе­ния которой, вообще говоря, имеют бесконечное число десятичных знаков, а случайной квазиравномерной величиной R*, возможные значения которой имеют ко­нечное число знаков.

В результате замены R на R* разыгры